6.16.2. Транспонування матриць за допомогою функції масиву трансп()

Функція ТРАНСП() переводить вертикальний діапазон комірок у горизонтальний, і навпаки. Наприклад, треба створити транспоновану матрицю з елементів матриці А (рис.9.1). З цією метою виділяють діапазон комірок, де буде створюватися нова матриця (А12:С14), активізують кнопку „Вставка функции”, ви­бирають функцію ТРАНСП() і заносять відповідні зна­чення елементів матриці А - ТРАНСП(А2:С4) (рис. 6.38).

0

Рис. 6.38. Транспонування матриці

Після цього встановлюють курсор на рядок формул та натискують на клавіші <Сtrl+Shift+Еnter> й одержують результат (рис. 6.39).

Рис. 6.39. Транспонована матриця

Для перевірки правильності розрахунку перемножу­ють матрицю А на обернену матрицю, використовуючи функцію МУМНОЖ(А2:С4;D7:F9). У результаті отримують матрицю з елементами 1 по діагоналі (рис. 6.40).

Рис. 6.40. Завдання масивів для перемноження матриць

Рис. 6.41. Результат перемноження вихідної та транспонованої матриць

6.17. Обчислення детермінанта матриці

Детермінант матриці – це скалярна величина, яка обчислюється на основі усіх матричних елементів і часто використовується при рішенні систем рівнянь. Наприклад, найпростіший приклад використання детермінанта – вияснення можливості обернення матриці виходячи із значень її детермінанта. Якщо детермінант матриці дорівнює нулю, обернути її неможливо. Операція обчислення детермінанта визначена тільки для квадратних матриць.

Примітка. При обчисленні детермінантів великих матриць виконується маса операцій, що може привести до значної помилки округлення. Ненульовий, але досить маленький детермінант (порядку

10 ^-14), зазвичай є помилкою округлення і, скоріше всього, в даному випадку оберненої матриці не існує.

Для обчислення детермінанту матриці в MS Excel використовується функція масиву МОПРЕД(матриця).

Якщо матриця сингулярна, тобто таку матрицю неможливо обернути, її детермінант дорівнює нулю. Якщо матриця містить дві однакових рядка, то таку матрицю також неможливо обернути, і її детермінант також дорівнює нулю.

6.18. Розв’язання системи лінійних рівнянь

Одним з найбільш поширених застосувань матричних операцій є рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Цей процес можна представити наступним чином:

1. Записується рівняння у матричній формі (матриця коефіцієнтів, помножена на вектор невідомих, дорівнює даному вектору правої частини рівнянь.

2. Здійснюється обернення матриці коефіцієнтів.

3. Перемножується права і ліва частини рівнянь на обернену матрицю коефіцієнтів.

В результаті виконання третього кроку, отримаємо вектор, компонентами якого будуть шукані невідомі.

Розв’язок системи лінійних рівнянь існує тоді і тільки тоді, коли матриця її коефіцієнтів несингулярна. Це ствердження адекватно тому, що матрицю коефіцієнтів можна обернути тоді, коли існує рішення системи лінійних рівнянь. Якщо ж рішення нема, матриця такої системи буде несингулярною.

Приклад. Розглянемо систему рівнянь з трьома невідомими:

3х₁+2х₂+4х₃=5

2х₁+5х₂+3х₃=17

7х₁+2х₂+2х₃=11

Крок1. Запис системи рівнянь в матричній формі

Запишемо невідомі в матричній формі х₁,х₂,х₃ у вигляді вектора невідомих [х]:

[х] =

Коефіцієнти системи можна зібрати в матрицю коефіцієнтів [С]:

[С] =

Константи, що стоять в правих частинах рівняння, можна записати у вигляді вектора [r]:

[r] =

Таким чином, наведені вище три рівняння для трьох невідомих можна записати таким чином:

[С] [х] = [r]

Електронна таблиця, у яку уведені матриця [С] і вектор [r] представлена на рис. 6.42

Рис. 6.42. Система рівнянь

Крок2. Обернення матриці коефіцієнтів

За допомогою функції МОБР() знайдемо матрицю, обернену матриці [С] рис. 6.43:

Рис. 6.43. Отримання оберненої матриці коефіцієнтів

Крок3. Множення правої і лівої частини рівнянь на матрицю, обернену матриці [С]

В результаті множення матриці [С] на обернену матрицю [С_оберн] отримаємо одиничну матрицю I. Помножив вектор на одиничну матрицю, отримаємо той же вектор.

[С_оберн][С][x] = [C_оберн][r]

[I][x] = [C_оберн][r]

[x] = [C_оберн][r]

Таким чином, при множенні матриці, оберненої матриці [С] на вектор [r] отримаємо розвязок системи лінійних рівнянь (рис. 6.44).

Рис. 6.44. Отримання рішення системи рівнянь

Рішенням є такі значення невідомих:

х₁= 0,8462

х₂= 3,8462

х₃= –1,3077