4.3.1 Метод половинного ділення

Постановка задачі

Нехай маємо рівняння , де – неперервна, монотонна нелінійна функція, яка має на відрізку єдиний корінь , тобто добуток , причому , де – задана похибка обчислень. Потрібно знайти значення кореня з заданою похибкою (рис. 4.9).

    

     Рисунок 4.9 – Графічна інтерпретація методу половинного ділення

Алгоритм методу (рис.4.9) оснований на багатократному ділені навпіл і звужуванні досліджуваного відрізка , який отримали в результаті попереднього дослідження функції (відокремлення коренів).

Метод половинного ділення – це найпростіший метод уточнення кореня рівняння. Він сходиться для будь-яких неперервних функцій , в тому числі недиференційованих. Швидкість сходження невелика

.

     Алгоритм методу

1. На відрізку вибираємо точку , яка розділяє його на два рівних відрізки і , довжина яких рівна і знаходиться за формулою

2. Перевіряємо чи , якщо так, то – точний корінь початкового рівняння і переходимо до пункту 6.

3. У випадку, коли , то з двох отриманих відрізків і вибираємо той, на кінцях якого функція приймає значення протилежних знаків, тобто, якщо , тоді залишаємо відрізок і точку переносимо в точку ( ); якщо , то залишаємо відрізок і переносимо точку в точку ( ) і переходимо до пункту 1.

4. Процес ділення відрізка навпіл виконується доти, поки на якомусь етапі, або середина відрізка буде коренем, або буде виконана умова закінчення ітераційного процесу: .

5. У цьому випадку за наближене значення кореня вибирають .

6. Вивід результатів. Кінець алгоритму.

7. Відомо, що при цьому похибка не перевищує , де – число ітерацій.

	Обчислення проводимо в табличній формі
Припинимо обчисленя тоді, коли f(x)< або |a-b|<
n	a	b	f(a)	f(b)	x=(a+b)/2	f(x)	f(a)*f(x)	|a-b|
1	3,1	3,5	-7,527	6,125	3,300	-1,489	11,208	0,400
2	3,300	3,500	-1,489	6,125	3,400	2,112	-3,145	0,200

4.3.3 Метод Ньютона (метод дотичних)

Метод послідовних наближень, розроблений Ньютоном, дуже широко використовується при побудові ітераційних алгоритмів. Його популярність обумовлена тим, що на відміну від двох попередніх методів замість інтерполяції по двом значенням функції в методі Ньютона здійснюється екстраполяція за допомогою дотичної до кривої в одній точці.

Постановка задачі

Нехай корінь рівняння f(x)=0 відокремлений на відрізку , на якому нелінійна функція f(x)монотонна і має різні знаки на кінцях відрізку, причому похідні та неперервні та зберігають постійні знаки на всьому відрізку . Потрібно знайти наближене значення кореня з заданою похибкою .

Геометричний зміст метода Ньютона полягає в тому, що дуга кривої на відрізку замінюється дотичною до цієї кривої, а наближене значення кореня визначається як точка перетину дотичної з віссю Ох, проведеної з одного з кінців досліджуваного відрізку. Рівняння дотичної має вигляд:

     .

Перший випадок. Нехай f(a)<0, f(b)>0, f(x)>0, f''(x)>0 (рис. 4.13, а) або f(a)>0, f(b)<0, f'(x)<0, f''(x)<0 (рис. 4.11, б). Проведемо дотичну до кривої в точці B₀(b; f(b)) і знайдемо абсцису точки перетину дотичної з віссю . Відомо, що рівняння дотичної в точці B₀(b; f(b)) має вид: y-f(b)=f'(b) (x-b).

Припускаючи y=0, x=x₁, отримаємо

          (4.8)

Тепер корінь рівняння знаходиться на відрізку [a, x₁]. Застосовуючи знову метод Ньютона, проведемо дотичну до кривої в точці B₁(x₁; f(x₁)) і отримаємо

     ,

і так далі (рис. 4.13).

    

     Рисунок. 4.13 – Геометричний зміст методу Ньютона для випадків, коли

а) функція, яка досліджується, ввігнута (f'(x)>0, f''(x)>0)

б) функція, яка досліджується, опукла (f'(x)<0, f''(x)<0)

Даний процес ітераційний, тому формула для будь-якого n-го кроку ітерації має вигляд:

     .     (4.9)

В результаті отримана послідовність наближених значень x₁, x₂, ..., x_n , ..., кожний наступний член якої ближчій до кореня , ніж попередній. Однак всі x_n залишаються більше істинного кореня , тобто x_n - наближене значення кореня з надлишком. Процес визначення кореня продовжується багаторазово доти, поки не одержано наближений корінь із заданим степенем точності

Другий випадок. Нехай f(a)<0, f(b)>0, f(x)>0, f(x)<0 (рис. 4.14, а) або f(a)>0, f(b)<0, f'(x)<0, f''(x)>0 (рис. 4.14).

    

     Рисунок 4.14 –Геометричний зміст методу Ньютона для випадків, коли

а) функція, яка досліджується, опукла (f'(x)>0, f''(x)<0)

б) функція, яка досліджується, ввігнута (f'(x)<0, f''(x)>0)

Якщо провести дотичну до кривої в точці B, то вона перетне вісь абсцис в точці, яка не належить відрізку . Тому проведемо дотичну в точці А₀(a; f(a)) і запишемо її рівняння для даного випадку: y - f(a) = f'(a) (x - a).

Припускаючи, що y = 0, x = x₁, отримаємо

          (4.10)

Корінь  знаходиться тепер на відрізку [x₁, b]. Застосовуючи знову метод Ньютона, проведемо дотичну до кривої в точці A₁(x₁; f(x₁)) і отримаємо

     ,

     і загалом     .     (4.11)

В результаті отримаємо послідовність наближених значень x₁, x₂,..., x_n ,..., кожний наступний член якої ближчій до істинного кореня , ніж попередній, т.б. x_n - наближене значення кореня  з недостачею.

Порівнюючи формули (4.10), (4.11) з раніше виведеними, (а також враховуючи випадки, які розглядаються на рисунках 4.14а,б помічаємо, що вони відрізняються одна від одної тільки вибором початкового наближення: в першому випадку за x₀ приймався кінець b відрізка, в другому - кінець а.

При виборі початкового наближення кореня необхідно використовувати наступне правило: за початкову точку слід вибирати той кінець відрізка [a, b], в якому знак функції співпадає зі знаком другої похідної. В першому випадку f(b)f''(x)>0 і початкова точка b=x₀, в другому f(a) f''(x)>0 і в якості початкового наближення беремо a=x₀.

Для оцінки похибки можна користуватися загальною формулою

     ,     (4.12)

де (ця формула підходить і до метода хорд).

В тому випадку, коли відрізок настільки малий, що на ньому виконується умова М₂<2m₁ , де M₂ , а , точність наближення на n-му кроці інтерполяційного процесу оцінюється наступним чином: якщо .

Якщо похідна f'(x) мало змінюється на відрізку , то для спрощення обчислень можна користуватися формулою

     ,     (4.13)

тобто значення похідної в початковій точці достатньо обчислити тільки один раз.

Процес побудови дотичної продовжується багаторазово доти, поки , де – задана точність обчислень; – наближені значення кореня рівняння , відповідно на та і - тому ітераційному кроці.

	Обчислення проводимо в табличній формі
Припинимо обчисленя тоді, коли f(x)< або |xi-xi-1|<
n	a	f	f'
1	1,400	-0,2	11,8
2	1,417	0,0040462	12,27889

 4.3.5 Метод ітерацій (метод послідовних наближень)

Суть методу полягає у заміні початкового рівняння

          (4.18)

еквівалентним йому рівнянням

     ,     (4.19)

Постановка задачі

Нехай задано рівняння , де – неперервна нелінійна функція. Потрібно визначити корінь цього рівняння, який знаходиться на відрізку з заданою похибкою .

Виберемо довільним способом і підставимо його в праву частину рівняння (4.18); тоді отримаємо . Потім це значення підставимо знову в праву частину рівняння (4.19) і отримаємо (рис. 4.18 а,б). Повторюючи цей процес, отримаємо послідовність чисел . При цьому можливі два випадки:

  послідовність збігається, тобто має границю, і тоді ця границя буде коренем рівняння (4.18).

  послідовність розбігається, тобто не має границі.

Приведемо без доказу теорему, яка виражає умову, при якій ітераційний процес розв’язку нелінійного рівняння методом ітерацій на ЕОМ збігається.

    

     Рисунок 4.18 Геометрична інтерпретація методу ітерацій

Теорема. Нехай на відрізку знаходиться єдиний корінь рівняння та у всіх точках цього відрізку похідна задовольняє нерівності . Якщо при цьому виконується і умова , то ітераційний процес збігається, а за нульове наближення можна взяти число з відрізку .

Розв’яжемо один етап ітерацій. Виходячи із заданого на попередньому кроці значення , обчислюємо . Якщо , покладемо і виконаємо наступну ітерацію. Якщо ж , то обчислення закінчують, за наближене значення кореня приймають величину .

При використанні методу простих ітерацій основною операцією є вибір функції в рівнянні , яку слід підібрати так, щоб і швидкість сходження послідовності до кореня тим вища, чим менше число .

Зведемо рівняння до виду x=f(x).

Корінь рівняння знаходиться на відрізку
		[	2,3	,		2,6
		f'(a)=	-0,14794	f'(b)=		-0,091033
	Виконується умова |f'(x)| < 1 на всьому відрізку
	Обчислення проводимо в табличній формі
	Припинимо обчисленя тоді, коли |xi-f(xi)|<1
n	x	fi(x)	|x-f(x)|
1	2,4500	2,338887	0,111113
2	2,3389	2,352968	0,014081