Контрольные задания

СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЙ, ВЫБОР ВАРИАНТОВ,

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ,

ОБЩИЕ ПОЯСНЕНИЯ К ТЕКСТУ ЗАДАЧ

Контрольное задание состоит из четырех задач - К1, К2, К3, К4. К каждой задаче дается 30 рисунков и таблица (с буквами от А до Е), содержащая дополнительные к тексту задачи условия.

Студент во всех задачах выбирает номер рисунка и номер условия в таблице - по последним двум цифрам из номера зачетной книжки по таблице.

№ зач	№ рис и строка	№ зач	№ рис и строка	№ зач	№ рис и строка	№ зач	№ рис и строка	№ зач	№ рис и строка
00	1 а	20	21г	40	11а	60	1 в	80	21е
01	2 б	21	22д	41	12б	61	2 г	81	22а
02	3 в	22	23е	42	13в	62	3 д	82	23б
03	4 г	23	24а	43	14г	63	4 е	83	24в
04	5 е	24	25б	44	15д	64	5 б	84	25г
05	6а	25	26в	45	16е	65	6в	85	26д
06	7б	26	27г	46	17 а	66	7г	86	27е
07	8в	27	28д	47	18б	67	8д	87	28а
08	9г	28	29е	48	19в	68	9е	88	29б
09	10д	29	30а	49	20г	69	10а	89	30в
10	11е	30	1б	50	21д	70	11б	90	1г
11	12а	31	2в	51	22е	71	12в	91	2д
12	13б	32	3г	52	23а	72	13г	92	3е
13	14в	33	4е	53	24б	73	14д	93	4а
14	15г	34	5а	54	25в	74	15е	94	5б
15	16д	35	6б	55	26г	75	16а	95	6в
16	17е	36	7в	56	27д	76	17б	96	7г
17	18а	37	8г	57	28е	77	18в	97	8д
18	19б	38	9д	58	29а	78	19г	98	9е
19	20в	39	10е	59	30б	79	20д	99	10б

Например, если шифр оканчивается числом 46, находим в столбце «№ зач» число 46 и справа в столбце «№ рис и строка» видим «17 а», то берем рис. 17 и условие из таблицы под буквой «а».

Каждое задание выполняется с новой страницы в отдельной тетради (ученической), страницы которой нумеруются. На обложке указываются: название дисциплины, номер работы, фамилия и инициалы студента, учебный шифр, факультет, специальность и адрес. На первой странице тетради записываются: номер работы, номера решаемых задач и год издания контрольных заданий.

З А Д А Н И Е К1

По заданным уравнениям движения точки найти уравнение траектории, скорость, ускорение, а также радиус кривизны траектории в момент времени t₁. Построить график траектории, указать положение точки в момент t₁ и вектора скорости и ускорения. Данные – в табл. К1.1 и К1.2.

Таблица К1.1

вар	а	б	в	г	д	е
a	1	2	3	4	5	1
b	2	3	4	5	1	3
c	3	4	5	1	2	4

Таблица К1.2

№ вар.	x=f(t) (см)	y=f(t) (см)	t1(сек)
1.	asin(2t)	bcos(2t) c	0
2.	asin(t	bsin(t c	0,5
3.	at+ c	bt2+at+ c	1
4.	at2+bt	ct	1
5.	at+ c	bt2 c t	1
6.	acos(t	bsin(t	0
7.	asin2(t	bcos2(t	1
8.	asin(2t)	bcos(2t)+ c	0
9.	at2	1/(t+ c)	1
10.	acos(t	bsin(t c	0
11.	acos2(t	bsin(t c	1
12.	acos(t	bcos(t c	0,5
13.	at	bt3 c	1
14.	acos2(t	bsin2(t	2
15.	5t+ c	bt2at+ c	1
16.	at22t+1	bt	2
17.	asin(2t)	bcos(2t)+ c	0
18.	asin(t	bsin(t c	0,5
19.	at2+4t+ c	at+ c	1
20.	c t	bt2+ c t	1
21.	at2  c t	bt	1
22.	asin(t	bcos(t	1
23.	acos2(t	bsin2(t	1
24.	acos(2t)+ c	bsin(2t)	0
25.	1/(t+a)	bt	1
26.	acos(t c	bsin(tc	0
27.	asin(t	bcos2(t	1
28.	acos(t c	bcos(t	0,5
29.	at3 c	bt	1
30.	asin2(t	bcos2(t	2

Указания.

Для получения уравнения траектории нужно из уравнений движения исключить время. При этом, если в уравнения входят тригонометрические функции, нужно воспользоваться соотношением : .

Пример выполнения задания.

Дано:

Уравнения движения точки в плоскости ху :

x = 2t, y = t²

(х, у - в сантиметрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1 c найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Из первого уравнения t=x/2, подставляя во второе, находим уравнение траектории точки y = x² / 4. Таким образом траекторией будет правая ветвь параболы ( поскольку значения Х и У из уравнений движения будут положительными ( рис. К1.1).

Рис. К1.1

Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

,

и при t=1 c : V_1x = 2 см/c, V_1y = 2 см/c, V₁ = 2,83 см/c.

Аналогично найдем ускорение точки :

,

и при t=1 c a_1x = 0 см/c², a_1y = 2 см/c², a₁ = 2 см/c².

Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство V²=V²_x+V²_y. Получим

и .

При t₁=1 c a_1= 1,4 см/с².

Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда найденные числовые значения a₁ и a_1, получим, что при t₁= 1 а_1n= 1,43 см/с².

Радиус кривизны траектории  = V²/a_n. Подставляя сюда числовые значения V₁ и a_1n, найдем, что при t₁=1 c ₁ =5,59 см.

З а д а н и е К 2

По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить скорость, а также вращательное, центростремительное и полное ускорение точки М механизма в момент времени t₁. Схемы механизмов показаны на рисунке К2.1, а необходимые данные для расчета помещены в табл. К2.1 и К2.2.

Таблица К2.1

Вар	см
	R2	r2	R3	r3
а	40	30	100	85
б	60	50	80	70
в	80	70	60	45
г	100	80	40	25
д	80	60	50	40
е	60	50	70	30

Таблица К2.2

№ варианта	Уравнения движения груза 1 x=x(t) (x-в см, t в с)	t1, с	№ варианта	Уравнения движения груза 1 x=x(t) (x-в см, t в с)	t1, с
1	10+100t2	1	16	3+40t2	2
2	80t2	2	17	80t2	0,5
3	18+70t2	1,5	18	4+20t2	1,5
4	50t2	1	19	5+80t2	2
5	8+40t2	0,5	20	50t2	3
6	5+60t2	3	21	4+90t2	0,5
7	7+90t2	2	22	10+40t2	1
8	4+30t2	1	23	7+40t2	2
9	3+80t2	2	24	90t2	3
10	70t2	0,5	25	50t2	1
11	5+40t2	2,5	26	5+60t2	2
12	2+50t2	1,5	27	6+30t2	0,5
13	60t2	3	28	2+50t2	1
14	6+20t2	4	29	3+30t2	1,5
15	8+40t2	1	30	5+60t2	2

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Рис К2.1

Указания. Для решения задачи следует изучить формулы для определения кинематических характеристик поступательного и вращательного движения тела.

Пример выполнения задания.

Дано:

Схема механизма (рис. К2.2); x = 2+70t² см; (t - в с);R₂ = 50 см; r₂ = 30 см; R₃ = 60 см; r₃ = 40 см; t₁ = 0,75 с.

Рис. К2.2

Решение. Дифференцированием по времени уравнения движения найдем скорость груза:

см/с.

Угловая скорость звена 2

с^-1.

Угловые скорости колес 2 и 3, связанных гибкой передачей найдем из соотношения:

откуда

с^-1.

Угловое ускорение

с^-2 = const.

Скорость точки М

и направлена перпендикулярно к радиусу в сторону вращения колеса 3.

Рис К2.3

Касательное ускорение точки М

и имеет одинаковое со скоростью направление, так как в рассматриваемом примере вращение колес ускоренное.

Нормальное ускорение точки М

и направлено по радиусу к центру колеса.

Полное ускорение

.

Направления векторов скорости и ускорения показаны на рис К2.3.

Значения этих величин для момента времени t = t₁ сведены в таблицу К2.2.

Таблица К2.2

, с -1	, с-2	V, см/с	Ускорение, см/с2
			a	an	а
2,92	3,89	116,67	155,6	341,1	374,9

З а д а н и е К3

Для заданного положения механизма найти скорости точек В и С, а также угловые скорости звеньев. Схемы механизмов изображены на рис. К3.1, а необходимые данные для расчета приведены в табл. К 3.1 и К 3.2.

Таблица К3.1

вар	а	б	в	г	д	е
ОА	120	100	80	50	20	25
АВ	75	60	45	30	10	12
АС	60	45	20	15	8	10
αº	30	45	60	45	30	45
βº	60	30	45	60	45	60

Таблица К3.2

Номер варианта	OA, с-1	I, с-1	VA, см/с	Номер варианта	OA, с-1	I, с-1	VA, см/с
1	2	-	-	16	2	-	-
2	3	-	-	17	-	-	50
3	-	-	100	18	2	-	-
4	4	-	-	19	1	2.5	-
5	5	-	-	20	-	-	15
6	1	1	-	21	3	-	-
7	-	-	30	22	4	-	-
8	1	-	-	23	-	-	10
9	-	-	10	24	2	-	-
10	1	-	-	25	1	-	-
11	-	-	10	26	2	1.2	-
12	-	-	20	27	1	-	-
13	2	-	-	28	-	-	20
14	3	12	-	29	4	-	-
15	1	-	-	30	5	-	-

Примечания. _OA - угловая скорость кривошипа ОА при заданном положении механизма; _I - угловая скорость колеса I; V_A – скорость точки А. Качение колёс происходит без скольжения.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Рис К3.1

Указания. Для решения задачи следует ознакомиться с методами определения скоростей точек тела, совершающего плоское движения ( при помощи теоремы о проекциях скоростей или с помощью мгновенного центра скоростей).

Пример выполнения задания.

Дано:

Схема механизма в заданном положении (рис. К3.2); исходные данные (табл. К3.2).

Таблица К3.2

Размеры, см			OA, с-1
ОА	АВ	АС
10	60	20	1,5

Решение. Вычисляем скорость точки А кривошипа ОА при заданном положении механизма:

V_A = ОА=1,510 = 15 см/с.

Скорость точки А перпендикулярна к кривошипу ОА. Скорость ползуна В направлена по вертикали. Мгновенный центр скоростей Р_АВ шатуна АВ находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к их скоростям (рис.К3.3.).

Рис. К3.2 Рис. К3.3

Угловая скорость звена АВ:

.

Скорости точек В и С:

V_В = _АВВР_АВ;

V_С = _АВСР_АВ,

где

ВР_АВ = АВsin30 = 600.5 = 30 см;

см.

Следовательно,

V_В = 0,2930 = 8,7 см/с;

V_С = 0,2936,1 = 10,5 см/с.

Вектор направлен перпендикулярно к отрезку СР_АВ в сторону, соответствующую направлению вращения звена АВ.

З а д а н и е К 4

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁. Схемы движения показаны на рисунке К4.1, данные для расчета в таблице К4.1 и К4.2.

Таблица К4.1

вар	а	б	в	г	д	е
R, см	5	10	15	20	25	10
а, см	4	5	10	15	20	4
t1, с	0,5	1	2	2,5	3	2,5
b	2	3	5	4	6	4
c	3	5	2	3	8	6
d	5	2	3	8	3	8

Таблица К4.2

Вар	j (t), рад	S(t), см	Х(t), см	Вар	j (t), рад	S(t), см	Х(t), см
1	bt	ct2+15t	-	16	bt	3t	-
2	dt	ct2+5t	-	17		-	bt2
3	ct	3t	-	18		-	bt2+2t
4	bt	ct2+5t	-	19	-	bt2	ct2+2
5	bt	ct+5	-	20	-	ct2	dt2+t
6	dt	ct+10	-	21	-	dt2	ct3-2t
7	dt	ct2+5	-	22	-	bt2	dt3+3t
8	bt	ct2+3	-	23		-	bt2+2t
9	t+b	cpt	-	24		-	bt3-2t2
10	bt	2pt	-	25	2t	ct2+t	-
11	bt	ct2+6t	-	26	3t	dt3-2t	-
12	bt	dt2+8t	-	27		bt2-3t	-
13	ct	5t	-	28		bt2+3t	-
14	bt	3t	-	29	3t	ct2+2t	-
15	dt	4t	-	30	2t	dt2+4t	-

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Рис. К4.1

Указания. Для решения задачи следует воспользоваться формулами для определения абсолютной скорости и ускорения точки при сложном движении, при этом необходимо понять сущность понятий переносной и относительной скоростей и переносного и относительного ускорений. А также ускорения Кориолиса.

Пример выполнения задания.

Дано:

Пластина вращается по закону:j=2t (рад), по ее диагонали движется точка М согласно уравнению: (см) (рис.К4.2). Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение в момент времени t₁=1 c.

Рис. К4.2

Решение. Относительным является движение точки по пластине, а переносным – вращение пластины.

Для того, чтобы найти относительную скорость нужно остановить переносное движение, то есть вращение пластины:

При t=1 с V_отн=0.

Для определения переносной скорости нужно остановить относительное движение, тогда V_пер направлена перпендикулярно пластине в сторону угловой скорости (рис. К4.3)

Рис К4.3

.

Переносная угловая скорость рад/с.

При t₁=1с ОМ=S₁=2cos(/2)=2 см ,

O₁M=OMcos45= см,

см/с.

Абсолютная скорость равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей, а модуль ее находится по формуле:

.

Так как при t₁=1c V_отн=0, то

V_a=V_пер=2,82 см/с.

Абсолютное ускорение находится по теореме Кориолиса:

(1)

Относительное ускорение:

.

При t₁=1 с см/с² и направлено в противоположную сторону скорости.

Переносное ускорение:

.

Нормальное переносное ускорение:

см/с².

Касательное переносное ускорение:

так как (=const)

Таким образом:

см/с²

и направлено к точке О₁

Ускорение Кориолиса находится как удвоенное векторное произведение векторов переносной угловой скорости и относительной скорости:

.

Так как при t₁=1с V_отн=0, то а_к=0

Для нахождения абсолютного ускорения складываем вектора и . Для этого формулу (1) проектируем на оси координат:

см/с²;

см/с²;

см/с².