2. Перечень вопросов к зачету
Общая постановка оптимизационной задачи.
Безусловная оптимизация.
Критерии нахождения максимума и минимума. Точки подозрительные на экстремум.
Структура оптимизационной модели.
Целевая функция, ограничения в оптимизационной модели.
Ограничения в виде равенств и неравенств.
Общая постановка задачи математического программирования.
Классификация задач математического программирования.
Задача нелинейного программирования.
Задача дискретного программирования. Задача целочисленного программирования.
Общая постановка задачи линейного программирования. Фазовые переменные, ограничения, целевая функция в задаче линейного программирования.
Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.
Геометрический способ решения задачи линейного программирования.
Граф как пара множеств. Основные определения теории графов. Описание структуры модели с помощью аппарата теории графов.
Представление графов в виде матриц. Матрицы смежности и инциденций.
Оптимизационные задачи на графах.
Задача о кратчайшем пути на графе.
Задача нахождения минимального остова на графе.
Алгоритм Краскала.
Алгоритм нахождения кратчайшего пути в графе с ребрами единичной или одинаковой длины.
Стохастическое моделирование.
Оценка надежности простейших электроэнергетических систем методом Монте-Карло.
Задача построения оптимальной цеховой электрической сети.
3. Методические указания по выполнению контрольной работы
Перед началом выполнения контрольной работы студент должен самостоятельно ознакомиться с теоретическим материалом согласно программе изучения курса, далее в соответствии с исходными данными произвести все необходимые расчеты по своему индивидуальному варианту контрольной работы. Задания в контрольной работе выполняются по трем темам курса: “Геометрический способ решения задачи линейного программирования”, “Задача синтеза графа электрической сети наименьшей стоимости”, “Оценка надежности простейших электроэнергетических систем методом Монте-Карло”.
3.1. Методы решения задачи линейного программирования
Распространенными
методами, применяемыми при анализе
различных
оптимизационных моделей, являются
методы математического
программирования. Эти
методы дают возможность
найти значения переменных
,
удовлетворяющих
ограничениям вида
(3.1)
как в виде равенств, так и в виде неравенств и обращающих в минимум или максимум целевую функцию
(3.2)
На переменные обычно накладываются добавочные ограничения неотрицательности их значений. Следует отметить, что математическое программирование представляет собой не аналитическую, а алгоритмическую форму решения задачи, т.е. дает не формулу, выражающую конечный результат, а указывает лишь вычислительную процедуру, которая приводит к решению задачи. Методы математического программирования эффективны при использовании ПК.
3.2. Постановка задачи линейного программирования
Простейшим случаем
задачи математического программирования
является задача линейного программирования.
Она соответствует случаю, когда левые
части ограничений (3.1) и целевая функция
(3.2) представляют собой линейные функции
относительно
.
Любую задачу математического
программирования, отличную от
сформулированной выше, называют задачей
нелинейного
программирования.
В
задачах нелинейного программирования
либо целевая функция, либо левые части
ограничений,
либо то и другое одновременно являются
нелинейными
функциями относительно
.
Рассмотрим
более подробно общую постановку задачи
линейного
программирования. Пусть дана система
т
линейных
независимых
уравнений с неизвестными
,
называемая в дальнейшем системой
ограничений задачи линейного
программирования
, (3.3)
где, не уменьшая
общности, можно считать
.
Характерной
особенностью данной задачи является
то, что
число
уравнений меньше числа неизвестных,
т.е.
.
Требуется
найти
неотрицательные значения переменных
,
которые удовлетворяют
уравнениям (3.3) и обращают в минимум
целевую функцию
, (3.4)
называемую линейной формой.
Более компактно в матричной форме задача линейного программирования может быть записана так:
, (3.5)
где
- матрица размером
;
-
мерный вектор;
-мерные
векторы.
Любое решение системы (3.3) с неотрицательными значениями переменных будем называть допустимым решением. Таким образом суть задачи линейного программирования состоит в том, чтобы из множества допустимых решений выбрать одно, а именно такое, которое обращает в минимум или максимум линейную форму (3.4).
Иногда
в задаче линейного программирования
все или некоторые
из уравнений вида (3.3) имеют вид неравенств.
Так, вместо уравнения
в
систему (3.3) может входить неравенство
вида:
или 
Однако
такие неравенства легко превратить в
уравнения, введя добавочную переменную
так, чтобы в зависимости от знака
неравенство
имело одно из двух выражений
,
.
Такое изменение приводит просто к увеличению числа переменных, но не меняет существа задачи.
Введем терминологию, широко используемую в задачах линейного программирования.
Базисом
называют любой набор
переменных
таких, что определитель,
составленный из коэффициентов при этих
переменных,
не равен нулю. Эти
переменных
называются базисными.
Остальные
переменных
называются свободными.
Если положить все свободные переменные равными нулю и решить полученную систему уравнений с неизвестным, то получим базисное решение.
Допустимым базисным решением является такое базисное решение, которое одновременно допустимо, т.е. которое дает неотрицательные значения базисных переменных.