Теплоёмкость кристаллической решётки

Энергия, получаемая кристаллом при его нагревании, идет на возбуждение колебаний частиц (атомов или ионов), расположенных в узлах кристаллической решетки, или, если пользоваться понятием квазичастиц, на рождение всё новых и новых фононов. Простейшая теория теплоёмкости кристаллических тел была создана А.Эйнштейном (1907 г.) и впоследствии усовершенствована П.Дебаем (1912 г.). В теории Эйнштейна кристаллическая решетка рассматривалась как система из 3N (поскольку каждый атом обладает тремя колебательными степенями свободы) независимых гармонических осцилляторов с одинаковыми собственными частотами . Зная распределение частиц по энергетическим состояниям для внутренней энергии кристалла можно получить выражение:

. (20.3)

Дифференцируя (20.3) по температуре, находим теплоёмкость кристалла:

. (20.4)

Рассмотрим два предельных случая:

1. При высоких (kT>>ћ) температурах справедливо приближение , что даёт

С_V = 3Nk, (20.5)

и, следовательно, для молярной теплоемкости

С_мол = 3R (20.6)

(закон Дюлонга и Пти).

2. При низких (kT<<ћ) температурах единицей в знаменателе (20.4) можно пренебречь по сравнению с и формула для теплоемкости приобретает вид:

. (20.7)

Опыт показывает, что при близких к нулю температурах теплоемкость действительно убывает, но не по экспоненциальному закону, а как Т³. Таким образом, теория Эйнштейна при низких температурах дает только грубое приближение, не позволяющее получить количественное согласие с опытом.

Более точной является теория Дебая, в которой учитывается тот факт, что смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещение и других, соседних с ним атомов, т.е. колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. В теории Дебая твёрдое тело рассматривается как система N упруго связанных друг с другом атомов. В общем случае теория Дебая приводит к весьма громоздкому выражению для теплоёмкости, которое, однако, существенно упрощается при температурах T<<, где

. (20.8)

где _max – максимальная частота колебаний решётки,  – характеристическая температура Дебая. В этом случае

, (20.9)

т.е. в соответствии с опытом . Следует отметить, что теория Дебая также является приближённой и применима лишь к соединениям, обладающим простыми кристаллическими решётками.

Понятие о квантовой статистике Ферми-Дирака.

От частиц с целочисленным спином (бозонов), подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна, резко отличаются по своим физическим свойствам частицы с полуцелым спином (фермионы), к числу которых относятся, в частности, электроны, протоны и нейтроны. Это очевидно хотя бы из того, что фермионы подчиняются принципу запрета Паули и, следовательно, числа заполнения для них ни при каких обстоятельствах не могут быть больше единицы. Для фермионов заселённость определяется распределением Ферми-Дирака:

, (20.10)

где , как и в случае распределения Бозе-Эйнштейна, химический потенциал системы. При Е_i >>  распределение Ферми-Дирака (также, как и распределение Бозе-Эйнштейна) переходит в классическое распределение Максвелла. Поскольку всегда больше нуля, заселённость, определяемая распределением Ферми-Дирака, действительно оказывается всегда не превышающей единицы.