1.12 Линейные однородные дифференциальные уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

,

(1)

где , , постоянные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением третьего порядка с постоянными коэффициентами.

Данное уравнение решается аналогично случаю уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическим для уравнения (1) является алгебраическое уравнение третьего порядка вида

.

(2)

Уравнение (2) имеет, как известно три корня (в том числе могут быть и комплексные!). Обозначим их , и .

Рассмотрим четыре возможных случая для корней характеристического уравнения (2).

Случай 1. Все три корня характеристического уравнения (2) действительные и различные: , , , .

В этом случае общее решение ЛОДУ (1) имеет вид:

.

(3)

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение: Характеристическое уравнение имеет корни , , . Так как все корни характеристического уравнения действительные и различные, то применим формулу (3). Следовательно, общее решение уравнения имеет вид: .

Ответ: .

Случай 2. Все три корня характеристического уравнения (2) действительные и два из них совпадают: , , .

В этом случае общее решение ЛОДУ (1) имеет вид:

.

(4)

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение: Составим характеристическое уравнение , один из корней которого можно получить методом проб.

Так как , то уравнение принимает вид , откуда , Таким образом, характеристическое уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают. Тогда согласно формуле (4) общее решение дифференциального уравнения имеет вид: .

Ответ: .

Случай 3. Все три корня характеристического уравнения (2) действительные и совпадающие: , .

В этом случае общее решение ЛОДУ (1) имеет вид:

.

(5)

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение: Составим характеристическое уравнение , решая его получаем, . Таким образом, характеристическое уравнение имеет три действительных и совпадающих корня, тогда согласно формуле (5) общее решение дифференциального уравнения имеет вид: .

Ответ: .

Случай 4. Один из корней характеристического уравнения (2) действительный и два комплексных: , , , .

В этом случае общее решение ЛОДУ (1) имеет вид:

.

(6)

Пример 4. Найти общее решение уравнения .

Решение: Составим характеристическое уравнение , решая его получаем, , , . Таким образом, характеристическое уравнение имеет один действительный и два комплексных корня, тогда согласно формуле (6) общее решение дифференциального уравнения имеет вид: .

Ответ: .

1.13 Решение неоднородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью

Пусть дано уравнение:

,

(1)

где и − постоянные. Поставим задачу нахождения общего решения такого уравнения: , причём первое слагаемое может быть найдено непосредственно (см. пункт 1.11) осталось найти . Выясним в какой форме следует искать эту функцию, когда правая часть уравнения имеет специальный вид:

Случай 1. Правая часть уравнения (1) имеет вид:

где − постоянное число, − многочлен -ой степени.

Будем искать в виде: где − многочлен с неопределёнными коэффициентами, степень которого пока неизвестна.

Найдём первую и вторую производные функции и подставим их в левую часть уравнения (1), получим:

,

.

В процессе подстановки, сокращая на общий множитель обе части равенства, перейдём к тождеству:

,

.

(2)

Возможны три случая:

1) число не является корнем характеристического уравнения, тогда ни один из коэффициентов в левой части не равен нулю. Замечаем, что из многочленов , , наибольшую степень имеет многочлен , с другой стороны равенство будет обеспечено лишь в том случае, когда его степень равна , таким образом, в случае 1) имеет вид:

.

2) число простой корень характеристического уравнения, значит последнее слагаемое в левой части равенства (2) обращается в ноль и старшую степень теперь имеет многочлен , а именно степень -ую степень, сам многочлен должен иметь степень, причём так как в запись он войдёт под знаком производной, а производная константы равна нулю, то в качестве многочлена можно взять многочлен степени с любым свободным членом, проще всего рассмотреть многочлен со свободным членом равным нулю, тогда вынося как общий множитель приходим к равенству:

.

3) число а кратный корень характеристического уравнения. Теперь два последних слагаемых равенства (2) обратятся в ноль, значит многочлен должен иметь -ую степень, сам многочлен должен иметь степень. Замечаем, что при двукратном дифференцировании линейной функции она обращается в ноль, тогда в качестве многочлена проще всего взять многочлен степени без двух последних слагаемых, значит:

.

Три полученные нами формулы можно свести в одну, если заметить, что показатель степени совпадает с кратностью числа, как корня характеристического уравнения. Обозначая кратность , получаем:

,

где − кратность , как корня характеристического уравнения.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами, значит, его общее решение имеет вид: . Найдем , характеристическое уравнение имеет корни: , . Поэтому общее решение соответствующего линейного однородного уравнения будет

.

Найдем теперь . По виду правой части уравнения запишем общий вид , где , , . Значит

.

Найдя производные , , и подставив их в данное уравнение, получаем

,

откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей, получаем систему уравнений

.

Решая эту систему, найдем: , , .

Следовательно, .

Общее решение данного уравнения имеет вид:

.

Ответ: .

Пример 2. Решить задачу Коши , , .

Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, значит, его общее решение имеет вид: . Найдем , характеристическое уравнение имеет корни: , . Поэтому общее решение соответствующего линейного однородного уравнения будет

.

Найдем теперь . По виду правой части уравнения запишем общий вид , где , , . Значит

.

Найдя производные , , подставив их в данное уравнение, получаем и, сокращая на получим , откуда , .

.

Значит, общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, для этого продифференцируем функцию :

.

Используя начальные условия, получим систему уравнений:

или .

Решая ее, найдем: , . Подставляя найденные значения постоянных в общее решение, получаем искомое решение задачи Коши:

.

Ответ: .

Случай 2. Правая часть уравнения (1) имеет вид:

,

где и постоянные, и − многочлены соответственно -ой степени и -ой степени.

В данном случае имеет вид:

,

где − кратность числа как корня характеристического уравнения, , и − многочлены степени с неопределёнными коэффициентами.

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, значит, его общее решение имеет вид: . Найдем , характеристическое уравнение имеет корни: , . Поэтому общее решение соответствующего линейного однородного уравнения будет

.

Правая часть данного уравнения равна , здесь , , , так как является корнем характеристического уравнения, то ; , , значит . Тогда будем искать в виде:

.

Найдя , и подставляя их в данное уравнение, после упрощения получим:

.

Отсюда получаем:

, откуда , .

.

Следовательно, общим решением данного уравнения будет

.

Ответ: .

Случай 3. Правая часть уравнения (1) представляет собой сумму специальных правых частей случая 1 и случая 2.

,

где , .

В данном случае , где − частное решение уравнения , − частное решение уравнения .

Пример 4. Найти общее решение уравнения .

Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, значит, его общее решение имеет вид: , где , − решение уравнения , − решение уравнения .

Найдем , характеристическое уравнение имеет корни: , . Поэтому общее решение соответствующего линейного однородного уравнения будет

.

Рассмотрим два уравнения и .

Решим первое из них: . Это уравнение имеет правую часть вида случай 1, здесь , (так как число является простым корнем характеристического уравнения), , поэтому

.

Найдя , подставим в уравнение, сократив на , получим:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем , . Значит имеет вид:

.

Решим второе уравнение: . Это уравнение имеет правую часть случай 2, здесь , , , (так как число не является корнем характеристического уравнения), , , значит , поэтому

.

Найдя , подставим в уравнение, получим:

.

Приравнивая коэффициенты при и в обеих частях равенства, получаем , . Значит имеет вид:

.

Запишем теперь .

Общим решением данного уравнения будет

.

Ответ: .

В заключении отметим, что изложенная теория линейных дифференциальных уравнений второго порядка полностью переносится и на линейные дифференциальные уравнения любого порядка.