1.9 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение вида:

,

(1)

где , , функции непрерывные на одном и том же промежутке.

В частном случае, если , то уравнение

( )

называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Уравнение (1) называют ещё неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Разрешая уравнение (1) относительно , получаем: видим, что оно является частным случаем уравнения (1) п.8 и удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения.

Действительно, функция − непрерывная как функция трех переменных , , (она зависит от и линейно, а функции , и непрерывны по условию), частные производные и также является непрерывными функциями трех переменных , и (от и и не зависят, а как функции непрерывны по условию). Поэтому при любых начальных условиях , , где , уравнение (1) имеет единственное решение задачи Коши.

Теорема. Пусть поставлена задача Коши

, ,

(2)

где точка принадлежащая промежутку непрерывности коэффициентов уравнения (1), а , любые числа, тогда существует такая окрестность точки , в которой уравнение (1) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям (2).

1.10 Структура общего решения линейного уравнения второго порядка

Определение 1. Две функция и называется линейно зависимыми на некотором промежутке , если существует число такое, что для любых выполняется тождество , в противном случае эти функции называют линейно не зависимыми.

Пример 1. Доказать, что функции , линейно зависимые.

Решение: Так как , то в качестве числа можно выбрать число . Итак найдено число , при котором выполнено условие . Значит функции , являются линейно зависимыми.

Вопрос о линейной зависимости и линейной независимости функций удобно рассматривать при помощи определителя Вронского (вронскиан) (Вронский Юзеф Мария 1776-1853, польский математик и философ):

.

Теорема 1. Для того чтобы две функции и были линейно зависимыми на некотором промежутке необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке определить Вронского был тождественно равен нулю.

Доказательство: I. Необходимость: пусть и − линейно зависимы для любых . Покажем, что в этом случае определитель Вронского равен нулю.

Так как и линейно зависимы, то существует .

II. Достаточность: пусть для любых , . Покажем, что функции и − линейно зависимые для любого .

Найдем производную дроби: , так как , то , , , , и − линейно зависимые.

Что и требовалось доказать.

Теорема 1а) (эквивалентная теореме 1). Для того, чтобы функции и были линейно независимые на некотором промежутке I необходимо и достаточно, чтобы существовала хотя бы одна точка из данного промежутка, в которой вронскиан был отличен от нуля.

Существуют линейно независимые функции, для которых определитель Вронского отличен от нуля во всех точках промежутка, а именно справедлива теорема 2.

Теорема 2. Если функции и линейно независимые решения однородного линейного дифференциального уравнения на некотором промежутке, то во всех точках данного промежутка определитель Вронского для этих функций отличен от нуля.

Определение 2. Любая пара линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Теорема 3 (структура общего решения однородного уравнения). Пусть функции и образуют фундаментальную систему решений однородного линейного дифференциального уравнения на некотором промежутке I, тогда во всех точках этого промежутка общее решение уравнения записывается в виде:

, где и − произвольные постоянные.

Доказательство: Проверим сначала, что функция является решением однородного уравнения: .

.

Значит, функция является решением однородного уравнения .

Осталось убедиться, что является общим решением, то есть докажем, что любому допустимому начальному условию: соответствует единственная пара решений значений коэффициентов и . Применим начальные условия к функции и получим систему двух уравнений:

,

Замечаем, что главным определением системы является значение определителя Вронского в точке , на основании теоремы 2, этот определитель не обращается в ноль ни в одной точке промежутка, в том числе и в точке , значит в силу теоремы Кронекера-Капелли, данная система имеет единственное решение параметров и .

Что и требовалось доказать.

Теорема 4 (структура общего решения неоднородного уравнения). Пусть функции и образуют фундаментальную систему решений однородного линейного дифференциального уравнения соответствующего данному неоднородному уравнению на некотором промежутке I, тогда во всех точках этого промежутка общее решение неоднородного уравнения будет представлять собой сумму общего решения однородного уравнения соответствующего данному и какого-нибудь конкретного решения неоднородного уравнения: .

Доказательство: Проверим сначала, что функция является решением неоднородного уравнения: .

Значит, функция является решением уравнения .

Проверим общность , для этого воспользуемся допустимыми начальными условиями, что вновь приведёт к системе линейных уравнений:

.

Замечаем, что как и в теореме 3, главный определитель этой системы равен значению определителя Вронского в точке , что для фундаментальной системы функций и означает его отличие от нуля, таким образом полученная система имеет единственное решение параметров и .

Что и требовалось доказать.