1.7 Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Будем рассматривать уравнения второго порядка разрешимые относительно старшей производной, т.е. имеющие, например, вид:

.

И остановимся на трёх частных случаях:

1. .

,

, ,

,

, и т.д.

Необходимо проинтегрировать данную функцию по ровно раз.

Пример 1. Найти общее решение данного уравнения: .

Решение: Проинтегрируем функцию два раза по переменной .

,

.

Ответ: .

2. .

Сделаем подстановку: .

,

,

,

.

Рассмотрим два частных случая этого вида уравнений:

а) ,

,

.

б) ,

,

.

Пример 2. Решить задачу Коши: , , .

Решение: В данном дифференциальном уравнении явно отсутствует . Поэтому для понижения в нем порядка применим подстановку: , .

Тогда получим:

.

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции . Для его решения положим , .

Тогда уравнение примет вид:

,

.

Выберем функцию из условия

,

откуда находим

.

Теперь уравнение запишется так

, ,

откуда

,

где − произвольная постоянная.

Общее решение дифференциального уравнения примет вид:

и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка

.

Следует заметить, что при решении задачи Коши для дифференциального уравнения высших порядков бывает целесообразно определять значение произвольных постоянных в процессе решения, а не после нахождения общего решения. Это связано с тем, что интегрирование порой значительно упрощается, когда постоянные принимают конкретные числовые значения, в то время как при произвольных интегрирование затрудняется, а иногда вообще невозможно в элементарных функциях. Поэтому прежде чем дальше решать уравнение, мы найдем , используя начальное условие .

Имеем: , . Тогда уравнение примет вид:

,

откуда

,

где − произвольная постоянная. Используя начальное условие , находим . Следовательно,

.

Это и есть решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения.

Ответ: .

3. .

Произведём замену: тогда .

, где функция от переменной ,

.

− уравнение первого порядка.

Пример 3. Решить задачу Коши , .

Решение: Данное дифференциальное уравнение не содержит . Для понижения порядка применим подстановку:

тогда .

Тогда получим уравнение:

,

которое является уравнением с разделяющимися переменными.

Разделяя переменные получим:

,

или .

В силу начальных условий и мы имеем дифференциальное уравнение:

.

Разделяя в нем переменные и интегрируя, получим:

или .

Используя начальное условие , находим .

Итак, решением задачи Коши будет .

Ответ: .

1.8 Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка. Понятие общего и частного решений

Рассмотрим уравнение второго порядка

(1)

с начальными условиями

.

(2)

По аналогии с утверждениями, сформулированными для уравнения первого порядка можно получить следующий обобщённый результат.

Теорема. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и её частные производные по переменным и ограничены в этой окрестности, тогда существует такая окрестность точки , в которой уравнение (1) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условием (2).

Определение 1. Точки, в которых выполняются все условия теоремы существования и единственности, будем называть допустимыми точками.

Определение 2. Общим решением уравнения (1) называется двупараметрическое семейство кривых , если для любых допустимых начальных условий (2) существует, причем единственная пара значений и , обращающих последнее уравнение в верное равенство.

Определение 3. Частным решением уравнения (1) называется любое решение, полученное из общего для конкретного значения параметров и , с помощью допустимых начальных условий (2).