1.5 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 1. Функция двух переменных называется однородной, если в результате тождественных преобразований её можно свести к некоторой функции одной переменной , то есть, выполнено равенство: .

Определение 2. Дифференциальное уравнение вида , где функция однородная функция двух переменных называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка:

.

Пусть , , − эта подстановка приводит к решению однородного дифференциального уравнения.

,

,

,

,

.

Пример 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: .

Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на , получим:

,

.

Данное уравнение является однородным, так как функция в правой части имеет вид . Сделаем замену , , . Получим:

,

,

,

,

,

,

.

Делаем обратную замену .

,

.

Ответ: − общий интеграл дифференциального уравнения.

Пример 2. Решить задачу Коши: , .

Решение: Очевидно, что это уравнение − однородное. Произведем в нем подстановку: , , .

Тогда будем иметь:

,

,

,

,

,

,

.

Делаем обратную замену: . Получаем: , − общее решение дифференциального уравнения.

Подставляя в общее решение начальное условие при , получим:

,

.

Тогда частное решение дифференциального уравнения имеет вид: .

Ответ: .

1.6 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Определение. Уравнение вида

(1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если выражение является полным дифференциалом некоторой функции .

.

, − общий интеграл дифференциального уравнения.

Пусть функции и и их частные производные первого порядка непрерывны в односвязной области , тогда если для любого то уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах. Докажем данное утверждение.

Доказательство: пусть дано уравнение (1), левая часть его равна полному дифференциалу функции .

,

, .

(2)

Продифференцируем равенства (2) по и :

, ,

Так как и непрерывное частное произведение второго порядка от одной и той же функции, то по теореме Шварца: , а значит .

Что и требовалось доказать.

Найдём неизвестную пока функцию для этого первое из равенств (2) проинтегрируем по переменной :

,

.

Найдём :

Последнее равенство продифференцируем по переменой :

,

так как , .

Теперь проинтегрируем по :

.

Итак: .

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

.

Решение: Пусть , .

Убедимся, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, для этого проверим выполнимость равенства: .

, .

Равенство выполнено, следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

Запишем равенства (2) для данного уравнения:

, .

Тогда .

Найдем функцию , для этого продифференцируем функцию по переменной .

.

,

,

.

Итак .

− общий интеграл дифференциального уравнения. В нашем случае: .

Ответ: .