§10.Равносильные бесконечно-малые.Таблица «равносильностей».

Таблица равносильных бесконечно малых при t®0.

1. sin(t) ~t (~ t- t³/6); 2) arcsin(t)~t (~ t+t³/6);

3) tg(t) ~t (~ t+ t³/3); 4) arctg(t)~t (~ t- t³/3);

5) 1 - cos(t) ~t²/2 ; 6) ln(1 + t) ~ t (~ t- t²/2);

7) e^t - 1~ t (~ t+t²/2); 8) a^t - 1 ~ tln(a) ; a>0; a¹1; 9) e^t – 1 ~ t

Теорема . Если

1. f,g,h - б. малые при x®a и не равны нулю в некоторой ПО(a;) ;

2. при

и 3) существует ,

то

( !! при вычислении пределов бесконечно-малые СОМНОЖИТЕЛИ можно заменять на им равносильные функции)

Док - во

Алгоритм «раскрытии» неопределенностей вида :

1. «Вынести» за знак предела все числовые множители и пределы множителей, не равные “0”и “”.

2. Заменить бесконечно малые функции-сомножители на им равносильные.

Замечание: в сумме бесконечно малые слагаемые можно заменять на им равносильные бесконечно малые лишь в том случае, если после замены сумма не оказывается тождественно равной нулю.

Примеры.

1. X®0 :

2. Сравнить при бесконечно малые.

=

§11.Односторонние пределы и непрерывность функции в точке

Пусть точка х=а - предельная точка D_f .

(1)

Очевидно, что проколотая окрестность точки aR представляет объединение двух открытых интервалов – «левой» и «правой» проколотых окрестностей точки: . Определим соответствующие односторонние пределы функции в точке так:

(2)

СЛЕДСТВИЯ.

1] Из определений (1),(2)следует, что:

• 

• 

2] Из определения непрерывности функции в точке следует,что

• А_лев=f(a)A_пр  f непрерывна в точке «слева»; А_пр=f(a)A_лев  f непрерывна в точке «справа»;

• f непрерывна в точке х=а 

ПРИМЕРЫ.

 f1 непрерывна в точке х=0 «справа» и

не существует

(2)

 lim(f2(x))=1, но f2 не является непрерывнной в точке х=0.

-------------------------------------------------------------------

§12.Точки разрыва функции и их классификация; вертикальная асимптота графика функции.

Из определения непрерывности функции в точке следуют

(2,3);;(1)

Свойства функции, непрерывной а точке:

1. aD_f –функция в точке определена; 2)a–предельная точка области определения >0:ПО(a;)D_f -любая проколотая окрестность содержит точки множества D_f ; 3)A_ЛЕВ,A_ПР,A_ЛЕВ=A_ПР=f(a)-существуют конечные односторонние пределы, равные значению функции в точке.

Определение 1. Точка aÎR называется точкой разрыва функции f, если она не является точкой ее непрерывности, т.е. не выполнено хотя бы одно из указанных условий (1-3).

Так как элементарные функции и их суперпозиции непрерывны во внутренних точках области определения, точками их разрыва могут быть либо граничные точки области определения, либо точки "сшивания", если значения функция задаются несколькими “формулами".

Определение 2. Точка х=a  разрыва функции f называется :

(1) точкой устанимого разрыва (т.у.р.), если ее односторонние пределы конечны и равны :

Разрыв в этой точке можно «устранить», если переопределить или доопределить значение функции в точке "a" «по непрерывности» : f(a)=A.

Например, f(x)=sin(x)/x x=0 –точка разрыва (0D_f);А_ЛЕВ=А_ПР=1точка устранимого разрыва доопределим f «по непрерывности»:

,  точка х=0 - точка непрерывности функции f^*.

2. точкой разрыва первого рода, если ее односторонние пределы конечны и не равны между собой : А_лев¹А_пр ("конечный скачок").

Например, для точках=0 - т.р. 1 рода,

т.к. А_лев=-1А_пр=+1;

3) точкой разрыва второго рода, если a - не т.у.р. и не т.р. I рода. (например, если хотя бы один односторонний предел бесконечен).

Например, для функции f(x)=1/(x-1) точка х=1 является т.р. 2 рода, так как А_лев=-∞; А_пр=+∞.

Определение 3. Если хотя бы один односторонний предел функции в точке "а" бесконечен, вертикальная прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x)(график "прижимается" к этой прямой при .

Например, прямая х=1 является вертикальной асимптотой графикаy=f(x)=1/(x-1).

Замечание. Так как элементарные функции и их суперпозиции непрерывны во внутренних точках области определения D_f, точками их разрыва могут быть лишь «граничные» точки D_f или точки «сшивания»(если значения функции задаются несколькими выражениями -формулами).

------------------------------------------------------------------

Экз.задача. Исследовать непрерывность и точки разрыва функции; изобразить схематически "график функции" в окрестности точек разрыва; записать уравнения вертикальных асимптот графика.

f : R/{0,1}®R;

(1) Как суперпозиция элементарных функций функция f непрерывна "xÎR/{0,1)  точками разрыва могут быть лишь граничные точки : a1=0; a2=1.

(2) a1=0 : (а) 0ÏD_f Þ x=0- точка разрыва.

(б) А_{лев ,} А_пр :Þ a1=1 - точка разрыва 2 рода;  x=0 - левая и правая вертикальные асимптоты графика .

(3) a2=1:

x

а1=0 - точка разрыва 2 рода;

х=0 - вертикальная асимптота графика;

а2=1 - точка разрыва 1 рода.

Задача 2.

Итак, функция f непрерывна "x Î(-1,1) È (1,3); непрерывна справа в точке a1=-1; непрерывна слева в точке a3= 3; точка а2=1 - точка разрыва 1 рода.