Функции и их свойства / PAR13

3

§13. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке.

Пусть задана функция f : XRE_f R: f(x)

Определение 1. Функция f называется ограниченной на множестве Х, если ограничено множество ее значений E_f (X), при этом функцию называют

ограниченной снизу, если  график y=f(x) выше прямой ym;

ограниченной сверху, если  график y=f(x) ниже прямой yM;

ограниченной, если она ограничена снизу и сверху

Например, функция

Определение 2. Функция f называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества. Функция f называется непрерывной на замкнутом промежутке [a,b]D_f , если она непрерывна во внутренних точках , непрерывна справа в точке "а" и непрерывна слева в точке "b".

Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке [a,b].

1) График y = f(x) функции, непрерывной на замкнутом промежутке [a,b],- непрерывная линия на координатной плоскости.

2)Теорема (Вейерштрасса). Функция, непрерывная на замкнутом промежутке [a,b] :(а) ограничена на этом промежутке

(б) принимает на этом промежутке свои наименьшее m=f_наим[a,b]=infE_f[a,b] и наибольшее M=f_наиб[a,b]=supE_f[a,b] значения

и(в) принимает на этом промежутке все значения от наименьшего m=f_наим до наибольшего М=fнаиб

(г) Если f(x)=0  {a_i-корни функции;i=1,2,…}, на каждом из промежутков (a_i; a_i+1) функция "сохраняет знак". Это свойство непрерывной функции лежит в основе "метода интервалов" решения неравенств: для построения "знаковой картинки" достаточно с помощью любой "пробной точки" x(a_i; a_i+1) определить "знак" функции на интервале (a_i; a_i+1).

3) Определение. Число "х₀"R называется корнем функции f , если f(x₀)=0. Очевидно, что корень функции является точкой пересечения графика функции y=f(x) c осью абсцисс.

Теорема Больцано - Коши (существование корня функции).

Если функция, непрерывная на замкнутом промежутке [a,b], принимает на его концах значения "разного знака" , внутри промежутка (a,b) существует по крайней мере один корень функции

На этом свойстве непрерывной функции, имеющей на промежутке (а,b) единственный корень, основан "Метод половинного деления" уточнения корня с заданной погрешностью ps.

Алгоритм метода :

1. (2)

(3)если с заданной погрешностью ps;

иначе  перейти к п^о2.

Замечание. Для уточнения корня функции на промежутке [a,b] с заданной погрешностью необходимо выполнить