Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Распределение Максвелла_1.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
02.09.2019
Размер:
671.74 Кб
Скачать

Институт информационных технологий БГУИР

Кафедра физико-математических дисциплин

Расчётная работа

«Закон Максвелла раcпределения молекул по скоростям»

Вариант 25

Выполнил студент группы

181012 Костров Р.М.

Проверил преподаватель

Профессор Синяков Г.Н.

Примечание Номер варианта соответствует порядковому номеру фамилии студента в списке группы.

Программу можно скачать по ссылке:

Ссылка на math_cad http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=1798874

Цель работы. Анализ функции распределения молекул по скоростям в зависимости от температуры и молярной массы газа.

Теория

При изучении газов принята основная модель – модель идеального газа как большого коллектива невзаимодействующих частиц, непрерывно участвующих в беспорядочном тепловом движении. К этому коллективу частиц применим статический метод, базирующийся на математической теории вероятностей, на понятиях о средних, среднеквадратичных и наиболее вероятных параметров, характеризующих поведение частиц в коллективе.

Рассмотрим распределение Максвелла или распределение молекул по скоростям.

Скорости молекул газа имеют различные значения и направления, причем как величина, так и направление скорости каждой отдельной молекулы изменяются в результате соударений, поэтому нельзя определить число молекул, обладающих точно заданной скоростью в данный момент времени, но можно подсчитать число молекул, скорости которых лежат в интервале от v1 до v2.

При этом предполагалось, что в газе не существует молекул, имеющих в точности одинаковые скорости, и число молекул dN, скорость которых лежит в узком интервале между v и v + dv, пропорционально общему числу молекул N, ширине интервала dv и зависит от скорости v. Такая теоретическая зависимость была установлена Максвеллом на основании теории вероятностей:

dN(v) = 4π (1)

Функцию

f(v)= = 4π (2)

показывающую относительное число молекул, скорость которых лежит в интервале скоростей, называют функцией распределения молекул. В этой формуле: m - масса молекул, k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура. Используя соотношение между постоянной Больцмана k и универсальной газовой постоянной R=kNA, формулу (2) можно переписать в виде:

f(v)= 4π (3)

где M – молярная масса газа. Эта функция удовлетворяет условию нормировки:

( 3*)

Максимум кривой распределения соответствует наиболее вероятной скорости молекул vB, которую можно найти, исследовав на максимум функцию f(v). Беря производную от функции (2) по скорости и приравнивая ее нулю, получаем

= const =0, =0

откуда

= , (4)

Вид функции распределения f(v) зависит от рода газа (массы молекул) и температуры Т. Давление и объем газа на распределение молекул по скоростям не влияют.

При повышении температуры (T2>T1) vB , возрастает, поэтому максимумы кривой распределения молекул по скоростям сдвигаются в сторону больших скоростей (v2>v1); следовательно, с ростом температуры возрастает относительное число молекул, обладающих большой скоростью. Площади, ограниченные кривыми распределения при любых температурах, должны быть равны между собой, так как их величина пропорциональна общему числу молекул, которое в обоих случаях сохраняются неизменным.

Большинство молекул газа движется с наиболее вероятной скоростью, тогда как число молекул, имеющих очень малые и очень большие скорости, мало. Кроме наиболее вероятной скорости движение молекул газа характеризует:

  • средняя арифметическая скорость , определяемая формулой .

Для дискретных значений v из общего определения средней арифметической скорости имеем

=

[N - число частиц. имеющих скорость vi].

В случае непрерывного спектра значений скорости

.

Однако полное число частиц N = ; следовательно,

= .

Подставляя в (4) f(v) и интегрируя полученное выражение, находим

= , (5)

  • средняя квадратичная скорость

= , (6)

равна корню квадратному из среднего арифметического значения квадратов скоростей.

если все молекулы одинаковы по массе, то

vB < < .

Функцию распределения по скоростям можно записать в другом виде, введя понятие относительной скорости . Проведя математические преобразования формулы (2), получим выражение

, (7)

где - доля молекул, обладающих относительными скоростями в интервале от U до U + ΔU, ΔU =

Порядок выполнения работы

Функция распределения рассчитана с помощью математического метода MathCad. Исследуемые соединения и их характеристики представлены в Таблице 1.

Таблица 1

Соединение

Химическая формула

Молярная масса

(10-3кг/моль)

Пределы изменения температуры

(для пункта 2)

1

гелий

He

4

273-450

2

метан

CH3

15

300-500

3

кислород

O2

32

220-400

4

пары воды

H2 O

18

373-500

5

неон

Ne

20

273-500

6

пары метанола

CH3OH

24

370-500

7

углекислый газ

CO2

28

263-450

8

этан

C2H5

29

300-500

9

азот

N2

28

273-400

10

воздух

29

220-450

11

закись азота

N2 O

36

283-500

12

аргон

Ar

40

300-500

13

бутан

C3H8

44

250-450

14

пары этанола

C2H5 OH

38

363-400

15

сернистый газ

SO2

48

250-500

16

хлор

Cl2

70

273-400

17

пары диэтилового эфира

C2H5 O C2H5

74

365-450

18

ксенон

Xe

131

300-500

19

пары йода

I2

254

323-520

Каждый студент, выполняющий работу, рассчитывает характеристики определённого набора соединений. Номера соединений указаны в Таблице 2. Номер варианта соответствует порядковому номеру фамилии студента в списке группы.

Таблица 2.

№ варианта

Соеденения

№ варианта

Соеденения

1

1 6 9 11 16 18

17

9 10 11 14 18 19

2

2 7 8 12 17 14

18

5 11 14 15 16 17

3

3 8 13 18 15 5

19

2 4 7 10 18 19

4

4 9 14 19 1 11

20

3 8 9 15 2 14

5

5 10 15 18 2 12

21

1 3 4 6 12 18

6

3 1 5 7 9 11

22

4 8 9 12 16 18

7

2 4 6 13 15 17

23

6 7 11 12 13 14

8

5 7 9 11 16 18

24

3 8 11 15 16 12

9

4 8 12 18 16 5

25

2 6 12 13 15 16

10

3 9 12 15 13 7

26

3 7 8 10 13 19

11

5 7 11 16 15 9

27

1 8 9 11 15 16

12

10 2 3 4 5 11

28

2 7 8 15 16 17

13

3 4 6 8 15 18

29

3 6 7 10 11 18

14

5 9 14 17 1 14

30

4 7 10 12 15 16

15

1 3 7 12 13 19

31

5 9 11 13 17 19

16

5 6 9 13 17 18

32

1 2 7 10 11 12

  1. Анализ зависимости наиболее вероятной скорости молекул от молярной массы для данной температуры .

Открыть файл Formula2.mcd

В формуле функции распределения f(v) в данном файле введены другие обозначения: молярная масса - µ, абсолютная температура t, универсальная газовая постоянная r.

Подвести курсор ко второй строчке и установить температуру t=400.

В первой строчке установить молярную массу первого соединения. Из кривой распределения для данной молярной массы определить наиболее вероятную скорость vв. (Скорости v отложены вдоль оси абсцисс). Для этого подведите курсор к графику и нажмите правую клавишу мыши. В предложенных функциях выберите команду “след». (В англоязычной версии - «trace…»). Далее нажимаете левую клавишу мыши на максимуме графика и в появившейся таблице определите координату на оси X.

Провести подобную операцию для остальных объектов. Результаты измерений занести в Таблицу 3. Вычислить .

Таблица 3

Молярная масса µ

Наиболее вероятная скорость vв

Построить график зависимости vв от величины .

  1. Анализ зависимости наиболее вероятной скорости молекул от температуры для данного газа.

Выберите одно из соединений. Установите во второй строчке его молярную массу. Проведите анализ зависимости vв от температуры в пределах того диапазона температур, которые указаны в Таблице 1. Диапазон разделите так, чтобы получилось 5 точек. Результаты запишите в Таблицу 4. Извлеките и вычислите отношение .

Таблица 4

Соединение

(укажите какое)

Температура t

Наиболее вероятная скорость vв

отношение

  1. Расчет наиболее вероятной скорости (vв), средней квадратичной и средней арифметической скорости молекул азота. Определение доли молекул обладающих этими скоростями.

По формулам (4, 5, 6) вычислите скорости , молекул азота для температуры t= 300 К. Результат занесите в Таблицу 5.

Проверьте условие нормировки функции (3*) для молекул азота , то есть возьмите интеграл в интервале скоростей, приведенном на графике функции распределения. (Предварительно введите параметры μ=28·10-3 , t=300). Нижний предел интегрирования установите равным 1. Результат запишите в Таблицу 5.

Используя рассчитанные значения скоростей, путем интегрирования определите доли молекул, имеющих скорости vв ± Δv; ± Δv; ± Δv (где Δv=5м/с). Для этого в формулу интеграла надо подставить нижний предел v-5 и в верхний v+5. Результат округлите до третьей значащей цифры и запишите в Таблицу 5.

Таблица 5

vв

Условие норми-ровки

vв±ΔV

±ΔV

±ΔV

Значение интеграла в пределах диапазона скоростей (*10­­­­­­­­-2)

Путем интегрирования определите относительное число молекул азота, которые имеют скорости, отличающиеся от vв в различных интервалах, указанных в Таблице 6.

Таблица 6

Интервал скоростей

Числовые значения интервала скоростей

%

1 - 0,5∙vв

(0,5 - 1)∙vв

(1 - 1,5)∙vв

(1,5 - 2)∙vв

(2 - 3)∙vв

(3 - 5)∙vв

(5 - 10)∙vв

Из полученных данных определите:

  1. Сколько процентов молекул имеют скорости, отличающиеся от vв не более чем на 50%.

б) Найдите отношение доли молекул, определенных в пункте а) к доли молекул, скорости которых более чем в 5 раз превышают наиболее вероятную скорость. Результаты укажите в Таблице 7.

Таблица 7

Данные расчета пункта а)

Данные расчета пункта б)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.