1.4. Модель «Хищник – Жертва» c логистической поправкой
В данном подразделе рассматривается модель конкурирующих популяций с .логистической поправкой. p * x(t)2 и p * y(t)2 для жертв и хищников соответственно:
С её помощью моделируют ситуации положительного (+p) или отрицательного (−p) влияния на экосистему. и поведение решений в окрестности стационарной точки меняется в зависимости от величины и знака параметра p. Как и в предыдущей модели (3.4) поведение системы (3.5) обосновывается стационарной точкой, соответствующей началу и концу роста популяций, найденной командой solve:
Численное решение (3.5) рассматривают в виде задачи Коши. Для этого вызывают команду dsolve с параметрами numeric и method=MET.
В качестве MET берут название метода численного интегрирования для своего варианта из таблицы 3.2.
Результаты представляют с помощью графических команд: plots - двухмерная развёртка во времени колебания численности жертв и хищников; phaseportrait - двухмерный фазовый портрет с незамкнутой траекторией; DEplot3d - трёхмерный фазовый портрет в одной плоскости с одним фокусом колебаний.
В случае положительного влияния (дополнительное восполнение популяций) стационарная точка является неустойчивым фокусом и амплитуда колебаний численности видов растет. Как бы близко ни было начальное состояние к стационарному, с течением времени состояние системы будет сильно отличаться от стационарного.
При отрицательном влиянии (внутривидовая конкуренция за пищу при ограниченных ресурсах, изымание биологических объектов из экосистемы) стационарная точка превращается в устойчивый фокус, а решения - в затухающие колебания.
1.5 Модель трофической цепи «Продуценты – Консументы – Редуценты»
В этой работе имитационный эксперимент проводится на модели, которая описывает трофическую цепь «Продуценты – Консументы – Редуценты» на примере пищевой цепи «Корнеплоды – Зайцы – Волки»:
Здесь x(t), y(t), z(t) - текущие численности популяций (на момент времени t) соответственно: корнеплодов, зайцев и волков. Коэффициенты:
a - скорости размножения (всхожесть) корнеплодов в конкретных условиях (температура, количество влаги, природный состав почв и т.д.);
b - скорости поедание корнеплодов, зависящий от физиологической потребности зайцев в данном корме (наличие другого корма);
c - снижения роста корнеплодов (гибель) из-за антропогенных факторов (загрязнения, выкашивания и т.д.);
k - конкуренции корнеплодов за среду обитания;
d - скорости размножения (рождаемости) зайцев;
e - скорости поедание зайцев волками, зависящий от физиологической потребности волков (наличия других видов жертв);
f - скорости гибели зайцев от антропогенных факторов (охота, загрязнение ОС);
g - скорости размножения (рождаемости) волков;
h - скорости гибели волков по естественным причинам (болезни, старость);
i - скорости гибели волков от антропогенных факторов.
В данной модели естественной причиной гибели корнеплодов считаются зайцы. Корнеплоды считаются основной пищей зайцев, а они в свою очередь - основной пищей волков. Естественной причиной гибели зайцев являются волки, у которых нет естественных врагов (консументов более высокого уровня).
Скорость поедания корнеплодов зайцами пропорциональна произведению их численностей (b*x*y). Аналогично, скорость поедания зайцев волками - произведению их численностей (e*y*z). Скорость размножения зайцев - произведению их количеств и корнеплодов (d*x* y), а скорость размножения волков - произведению их численности и зайцев (g*y*z).
Таким образом, модель (3.6) позволяет отразить гомеостаз экосистемы в изменяющихся условиях среды. Рост популяции корнеплодов приводит к росту популяции зайцев, а она в свою очередь к снижению первой. За счёт присутствия положительных и отрицательных обратных связей происходит саморегуляция экосистемы.
Такое состояние может быть нарушено антропогенными факторами, которые представлены в этой лабораторной работе функциями времени vZ(t) и vV(t) (рисунки 3.4 и 3.5, а также см. пример выполнения):
На рисунке 3.4 представлена функция для антропогенного воздействия, которое начинает оказывать значительное влияние на экосистему (или некоторую популяцию) в определённый момент времени, а затем затухает. К такому воздействию можно отнести радиоактивное или химическое загрязнение, уменьшающееся по закону трансформации (распада), как правило, экспоненциальному.
На следующем рисунке 3.5 изображена функция постоянно-эпизодического, т.е. на протяжении некоторого периода времени антропогенного воздействия, за пределами которого оно прекращается. Такую функцию можно применить, например, во время сезона охоты или выкашивания лугов, когда из экосистемы изымается постоянное количество популяций в единицу времени.
Полное уничтожение популяций задают нулевыми значениями их численностей в начальный момент времени: x0, y0, z0.