- •Основные понятия.
- •Соответствие методов и множеств.
- •Общая схема безусловной оптимизации
- •Методы первого порядка (градиентные методы)
- •Градиентный метод с постоянным шагом
- •Выпуклые функции и множества
- •Cвойства выпуклых функций
- •2.Теорема:
- •4.Теорема:
- •5.Теорема:
- •Градиентные методы (продолжение)
- •2. Градиентный метод с дроблением шага.
- •3.Метод наискорейшего спуска.
- •4.Масштабирование.
- •1.2 Метод Ньютона.
- •Сравнительная таблица достоинств и недостатков градиентного метода и метода Ньютона:
- •Число обусловленности локального min.
- •1.3. Многошаговые ( двухшаговые ) методы.
- •1.4.Квазиньютоновские методы
- •1. Методы апроксимации
- •2. Метод покоординатного спуска
- •3.Метод симплексов (Нелдера- Нида)
- •4 .Метод Пауэлла (сопряженных направлений)
5.Теорема:
Для дифференцируемой функции f (x) на выпуклом множестве X выпуклость
эквивалентна неравенству:
f (x +y) f (x) + (f(x),y )
Строгая выпуклость эквивалентна неравенству:
f (x +y) f (x) + (f(x),y )
Сильная выпуклость эквивалентна неравенству:
f (x +y) f (x) + (f(x),y ) + l*||y||2/2, где l=const
Без доказательства
6. Для сильно выпуклых функций справедливы соотношения:
1. f (x) f (x*) + l*|| x - x*||2/2
2. (f(x), x-x*) l*|| x - x*||2
3. ||f(x)|| l* || x - x* ||
Без доказательства
Градиентные методы (продолжение)
xk+1 = xk - *f ( x k )
Оценим скорость сходимости для выпуклых функций:
Теорема:
Пусть f (x) дваждыдифференцируема и l*I 2f (x) L*I, где l>0, L>0 x (*),
то есть f (x) – выпукла, тогда при 0 2/L выполняется неравенство:
|| xk –x*|| || x0 –x*||*qk – геометрическая сходимость,
где q = max {|1-*l|,|1-*L |}, при этом min q() = (L-l)/(L+l)<1 и достигается при
= *=2/(L+l).
Доказательство: Применим формулу
f (x+y)= f (x)+(x+*y)y d к производной:
f (xk)= f (x*) + 2f (x*+*(xk-x*))( xk-x*) d = Ak*( xk-x*),
где матрица Ak=2f(x*+*(xk-x*))d симметричная и неотрицательно определена.
Из (*) следует l*I Ak L*I,
|| xk+1 –x*|| = || xk – *f ( x k ) - x*|| = || xk – x* - * Ak( x k - x*)|| =
= || (I- *Ak)*( x k - x*)|| || I- *Ak ||*|| x k - x*||
Для любой симметричной матрицы А выполняется:
|| I- A|| = max {|1-1|,|1-k|}, где 1,k – соответственно наименьшее и наибольшее собственные числа (значения) матрицы А.
Поэтому || xk+1 –x*|| || xk –x*||*q, где q = max {|1-*l|,|1-*L |}
так как 0 2/L и 0< l <L, то |1-*l| <1, |1-*L |<1 q<1.
Найдем min q()
q()
max =q()
1-l
1-l
1
L-1 * l-1
1-l**= -(1-L*) *=2/(L+ l).
Тогда q(*) = (L-l) / (L+ l)
2. Градиентный метод с дроблением шага.
Как известно выбор постоянного шага может привести к осложнениям.
xk+1 = xk - tk*f ( x k )-градиентный метод. Если шаг выбрать с условием, что f(xk+1) - f(xk) -* tk * || f(xk)|| (*), где 0 < 1, то результат будет лучше значительно.
Иллюстрация:
Необходимо двигаться к х*. В начальной точке проводим касательную к линии уровня и делаем по перпендикуляру к касательной в этой точке, шаг соответствующей величины. Если оказываемся «далеко», то делим шаг пополам, проводим линию уровня, касательную и шагаем по перпендикуляру и т.д.
Алгоритм:
1.Выбираем t=const.
2.Проверяем выполнение соотношения (*).
3.Если выполняется, то вычисляем следующую точку; если не выполняется, тогда длину шага t делим на 2, проверяем (*) и так далее.
Там, где f ( x ) = 0- останавливаемся.
Теорема(о градиентном метоле с дроблением шага)
Градиентный метод с дроблением шага обеспечивает геометрическую скорость сходимости в точке минимума || xk –x*|| const.*qk, где 0<q<1.
Без доказательства.
3.Метод наискорейшего спуска.
Определяет оптимальное значение шага на каждом такте.
Значение функции, полученное этим методом, меньше чем в предыдущем методе.
Характерная черта метода: градиенты функции в соседних точках ортогональны.
Графическая интерпретация:
В начальной точке проводим касательную к линии уровня и делаем шаг оптимальной величины в направлении перпендикуляра к касательной в данной точке. Получив новую точку, повторяем действия и так далее.
Теорема (о скорости сходимости метода наискорейшего спуска)
Скорость сходимости метода наискорейшего спуска - геометрическая.
, где (L,l -указаны ранее)
Без доказательства