Скачиваний:
23
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
589.82 Кб
Скачать
  1. Методы прямого поиска в задачах одномерной минимизации.

min-?

xk+1 = xk + tkSk , где Sk -направление.

Необходимо определить tk.

(t) = f(xk + tSk)- найти минимум функции одной переменной (нет анализа заданной функции). Будем искать точку локального минимума, поэтому ограничимся функциями, имеющими один минимум. Больше ничего о функции неизвестно. Можно вычислить (измерить) значения функции в точках.

1. Метод квадратичной интерполяции.

Пусть функция задана на прямой, даны при этом точки a<b<c, и , точка минимума в [a, c]

Через эти точки проведем параболу:

Положим:

, т.е. имеем 3 уравнения и 3 неизвестных g0, g1, g2.

Находим g0, g1, g2

Рассмотрим два случая:

Так поступаем до тех пор, пока точка не окажется в достаточно малой окрестности одной из трех точекa, b, c. После чего такую точку считаем точкой минимума.

Метод можно обобщить на случай кубических и т.д. функций, но потребуется вычислять большее количество точек.

2. Метод дихотомии ( половинного деления.).

Если мы вычислим значения f в двух точках x1,x2 , то станет возможным исключение из рассмотрения некоторого множества точек, на котором гарантировано нет минимума, то есть имея измерения в двух точках можем сократить интервал поиска.

Как лучше выбирать точки, чтобы процесс быстрее сходился?

В методе дихотомии предлагается (отрезок [0,1] ).

Остается один из интервалов:. Выберем 3-й и 4-й эксперимент на-пару в середине оставшегося интервала. После n (n-четно) экспериментов min функции лежит в интервале .

Здесь каждый раз два эксперимента, но можно один, а в качестве другого брать один из предыдущих.

3. Метод «золотого» сечения.

Интервал [a,b], вычислить функцию в точках .

На интервале [a,b] расположен минимум функции.

, где F1 и F2 некоторые числа 0<F1<1, 0<F2<1.

Анализируем перегибы функции внутри интервала, и также, как раньше, заменяем отрезок [a,b] на или. Идея метода в том чтобы после замены, необходимо было вычислить только одну точку при гарантированном уменьшении длины отрезка, т.е.

,так как

(после замены отрезок уменьшится в 1/ F2 = 

В новом отрезке должно быть(по правилу «золотого» сечения): так как

Тогда так как,,то.

Таким образом, уменьшение интервала в 1/ F2 =  раз достигается с помощью вычисления функции в одной новой точке (см. процедуру выполнения). После n экспериментов имеем интервал неопределенности:

.

В пересчете на одно измерение этот метод лучше дихотомии.

Процедура выполнения:

Рассмотрим [a,b], вычислить функцию в точках .

В 1) и 2) появилась только одна новая точка. И так далее, пока длина отрезка [a,b] не станет меньше заданной величины.

4 .Метод Фибоначчи.

Пусть у нас существует ограничение на количество вычисляемых точек N.

Как выбирать средние точки , чтобы максимально уменьшить интервал, внутри которого лежит точка min?

, к- номер итерации.

Fj - числа Фибоначчи, обладающие свойством.

Fk+2 = Fk+1+ Fk

Два первых: 1;1

Как метод Фибоначчи связан с методом «золотого» сечения?

.

То есть асимптотически один метод переходит в другой. Окончательный интервал в методе «золотого» сечения всегда на 17% больше чем в методе Фибоначчи. Если количество измерений не задано, то используется метод «золотого» сечения, если задано - то Фибоначчи.

3. Условная минимизация.

  1. Задача нелинейного программирования.

min f -?, на множестве X.

Нелинейная область: - допустимое множество.

ji- некоторые функции.

2.1.1 Ограничения типа равенства.

рассмотрим найти.

Пусть g разрешима относительно x1, то есть x1= (x2).

Тогда

Пусть f,  - дифференцируемы. Тогда условие экстремальности: , так как

Тогда:

,из определения 

Таким образом в точке минимума выполняются эти соотношения. Получить эти необходимые условия можно используя функцию Лагранжа:

F(x,)=f+g.

Тогда необходимое условие min функции f(x1,x2) при наличии ограничений может быть записано следующим образом:

Соседние файлы в папке Конспект по методам оптимизации в формате doc