Алгоритм программы

Результаты тестирования программы

Функция	Результаты
4(x1– 5)2+ (x2– 6)2	X0=(0;0) Результат: 5.000000 6.000000	X0=(8;9) Результат: 5.000000 6.000000
(x12+x2– 11)2+ (x1+x22– 7)2;	X0=(0;0) Результат: 3.000000 2.000000

Выводы:

Были изучены методы сопряженных градиентов и разработана программа, описывающая эти методы. По результатам тестирования программы можно сделать следующий вывод: скорость нахождения минимума функции не зависит ни от выбора начальной точки, ни от выбора погрешности локализации минимума

Ответы на контрольные вопросы:

1. Выполнить 2 шага аналитического решения задачи Вашего варианта задания.

Пусть дана функция: f(x1,x2)=(1-x2)^2+(x1-x2)^2, x1=(0,0)

Ш1: p1=-g1=

Ш2: x2==>f(a1)=(1-2*a1)^2+(-2*a1)^2

F’(a1)=-4(1-2*a1)+8*a1=0 => a1=1/4

Ш3: x2=Ш4: ||g1||=2>E

K=2

Ш1: p2=-g1+b1*p1 g2=g(x2)= => j1=g2-g1=

B1=(g2*j1)/(p1*j1)=

P2=-+1/4*=x3==

F(a2)=(1-1/2-1/2*a2)^2+(a2-1/2-1/2*a2)^2

F’(a2)=-1/8*(1-a2) => a2=1 =>x3===>g3=g(x3)==>||g3||=0 STOP

2. Являются ли направления p¹ = (0; 1)^t и p² = (1; 0)^t линейно независимыми? Ортогональными? Сопряженными?

Данные вектора являются ортогональными =>независимы

P1*p2=0*1+1*0=0-Ортогональные

P1*H*p2=-Сопряженные

3. Дана функция y(x) = x₁² + x₂² + x₃² и точка x^k = (1; 2; 3)^t. Определить точку x^k + 1 методом Даниела.

Ш1: p1=-g1==

Ш2: x2==>f(a1)=(1+2*a1)^2+(2+4*a1)^2+(3+6*a1)^2

F’(a1)=4(1+2*a1)+ 16(1+2*a1)+36*(1+2*a1)=0 => a1=1/2

Ш3: x2=Ш4: ||g1||=(4+16+36)^1/2 > E

4. Используя метод сопряженных градиентов найти точку x^k + 1 для функции y(x) = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² и x^k = (1; 1; 1)^t.

Ш1: p1=-g1==

Ш2: x2==>f(a1)=(1+4*a1)^2+2*(1+4*a1)*(1+4*a1)+(1+4*a1)^2

F’(a1)=32*(1+4*a1) =0 => a1=1/4

Ш3: x2= Ш4: ||g1||=(4+4+1)^1/2=3 > E

5. Определить характер матрицы Гессе функции y(x) = (x₂ – x₁)² +  + (1 – x₁)² в точке минимума x^* = (1; 1)^t. Используя матрицу Гессе найти направление, сопряженное к p = (1; 0)^t.

G= =>H=

P1*H*p2=0 =>

Пусть y=2 => x=1 => p2=

18