Результаты тестирования программы

Точность	Результаты
Eps = 10-5	Minimum: -1.0000000 1.000000
Eps = 10-4	Minimum: -1.0000000 1.000019
Eps = 10-3	Minimum: -1.0000000 1.000019

Выводы:

Проделав данную работу, мы изучили на практическом уровне метод Ньютона, а также его модификации. В итоге получилась корректная программа, находящая минимум n-мерной заданной функции с помощью обобщенного метода Ньютона.

Ответы на контрольные вопросы:

1. 1 Что такое ньютоновское направление поиска?

Ньютоновское направление поиска определяется как p^k=-(H^k)^-1 *∆Y^k, где ∆Y^k-градиент заданной функции в точке x^k. Множитель (H^k)^-1 способствует повороту направления к минимуму.

2. Каким образом можно проверить положительную определенность гессиана?

Можно попробовать разложить H^k=Ц^t_kD_kЦ_k и посмотреть на диагональные элементы матрицы D_k.

3. В чем достоинства метода Ньютона по сравнению с уже известными Вам методами?

Для квадратичных функций оптимум вычисляется за одну итерацию из любой точки.

Для произвольной функции сходимость Ньютона обеспечивается при выполнении четырех условий:

• x0≡D(x^*)

• Должен существовать гессиан в каждой точке итерационного процесса.

• Гессиан должен быть положительно определен во всех точках предполагаемого процесса.

• Должен существовать обратный гессиан в любой точке предполагаемого процесса.

4. Есть ли у метода Ньютона какие-либо недостатки, и если да, то как их можно устранить?

Если функция овражная, то 4 условия из предыдущего пункта практически невыполнимы.

Большие траты на вычисление вторых производных, а также на вычисление обратного гессиана. Эти проблемы решены в так называемых квазиньютоновских методах.

5. Какова геометрическая интерпретация метода Ньютона и его модификаций?

В геометрическом плане метод Ньютона – процесс последовательного отыскания аппроксимирующего минимума a_k+1,a_k+2…парабол, проведенных через точки k,k+1,k+2…до тех пор пока аппроксимирующий минимум a_k+n^* не совпадет с истинным минимумом a*.

6. Найти минимум функции y(x) = 4x₁² + x₂² – 12x₂ + 4 из начальной точки x¹ = (3; 4)^t методом Ньютона.

F(x₁,x₂)=4*x₁²+x₂²-12*x₂+4

Вычислим p₁ = -(H₁)^-1g^k

g¹ =(8*x₁;2*x₂-12)^t _|(3,4)=(24,-4)^t

H₁=(8,0; 0,2) => H₁^-1=(0.125, 0; 0, 0.5);

p₁=-H₁*g¹=(-3,2)^t

Перейдем в новую точку x₂:

x₂=x₁ + alpha*p₁;

alpha=1;

x₂=(3,4)^t+(-3,2)^t=(0,6)^t

Если дальше считать p₂, x₃ и т.д. то процесс зацикливается, так как p₂,p₃…=(0,0) и соответственно все вычисляемые далее точки одинаковы.

10