3.2 Решение гиперболических и параболических уравнений

Решение нестационарных задач (гиперболических и параболических уравнений) рассмотрим на примере решения задачи о колебаниях прямоугольной мембраны

Уравнение колебаний мембраны имеет вид:

Пусть

На первом этапе задаем область решения

Рисунок 1.18 Область решения задачи

Далее определяем гиперболическое уравнение и его коэффициенты

Рисунок 1.19 Определение параметров гиперболического уравнения задачи

Определяем нулевые условия на границе области

Рисунок 1.20 Граничные условия задачи

В отличие от эллиптических уравнений в этой задаче необходимо с помощью команды Solve/Solve Parameters (Решение/Параметры решения) определить интервал изменения времени, начальные условия и точность решения.

Рисунок 1.21 Начальные условия задачи

После проведения триангуляции можно запускать задачу на выполнение, но для того, чтобы увидеть процесс колебания мембраны в динамике, нужно включить параметр Animation (Анимация) в окне Plot Selection (Выделение графика).

Далее с помощью кнопки Options (Настройки) в окне Animation Options (Настройки анимации) установим число кадров в секунду (параметр Animation rate (fsp)) и число повторов анимации (параметр Number of repeats). Теперь при решении задачи мы будем видеть динамику процесса колебания мембраны в виде анимации.

Рисунок 1.22 График решения задачи

ОТВЕТИТЬ НА ВОПРОСЫ

1. Постановка задач для уравнений в частных производных.

2. Какие условия называются начальными условиями, а какие – граничными?

3. Какие условия задаются для эллиптических уравнений? На какие классы подразделяют эти условия?

4. Назвать основные свойства пакета PDE Toolbox MATLAB.

5. Как в pdetool можно задавать тип решаемой задачи?

ВЫПОЛНИТЬ ЗАДАНИЕ.

Используя метод сеток, найти приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате ABCD с вершинами А(0;0), В(0;1), С(1;1), D(1;0).

В таблице вариантов приведены формулы, задающие искомую функцию на сторонах квадрата ABCD.

№ варианта
1	30y	30(1-x2)	0	0
2	50y(1-y2)	0	0	50sinx
3	20y	20	20y2	50x(1-x)
4	0	50x(1-x)	50y(1-y2)	50x(1-x)
5	30siny	20x	20y	30x(1-x)
6	30(1-y)	20	20y	30(1-x)
7	40y2	40	40	40sinx
8	50y2	50(1-x)	0	60x(1-x2)
9	20y2	20	20y	10x(1-x)
10	40	40(1-x)	20y(1-y)	0
11	20cosy	30x(1-x)	30y(1-y2)	20(1-x2)
12	20y	20(1-x2)	30(1+y2)	0
13	30(1-y2)	30x	30	30
14	0	50sinx	50y(1-y2)	0
15	40(1-y)	30	30y	20x(1-x)
16	10siny	20x	30y(1-y2)	20(1+x2)
17	30y	20(1-x)	0	10x(1-x)
18	50y(1-y2)	0	40	40sinx
19	20y	20	0	60x(1-x2)
20	30(1-y)	20	30	30
21	30siny	20x	20y	10x(1-x)
22	30(1-y2)	30x	20y(1-y)	0
23	50y2	50(1-x)	30y(1-y2)	20(1-x2)
24	0	50x(1-x)	40	40sinx
25	40(1-y)	30	0	50sinx