1.1.2 Замена переменных в двойном интеграле
Пусть
в двойном интеграле
прямоугольные координаты
преобразуются к новым координатам
которые связаны с
соотношениями:
(1.10)
Если
между областями
и
,
лежащими в плоскостях
и
(рисунок 1.4), установлено соотношениями
(1.10) взаимно однозначное отображение,
причем функции (1.10) имеют непрерывные
частные производные первого порядка в
области
и якобиан отображения в области
не обращается в нуль, т.е.
то имеет место следующая формула замены переменных в двойном интеграле:
(1.11)
Рисунок 1.4
В полярных
координатах формулы (1.10) имеют вид
Эти формулы связывают прямоугольные
координаты
с полярными координатами
при условии, что полюс помещен в начало
координат и полярная ось направлена
вдоль оси
В этом случае
и формула (1.11) принимает вид
|
|
Рисунок 1.5 Рисунок 1.6
Для
области
ограниченной лучами, образующими с
полярной осью углы
и
,
и кривыми
и
причем
(рисунок 1.5), получаем
(1.12)
Если область D содержит начало координат (рисунок 1.6), то
(1.13)
Формулы (1.12) и (1.13) удобно использовать при решении задач, когда область есть круг или часть круга.
Обобщенными
полярными координатами называют
переменные
и
,
связанные с прямоугольными координатами
и
формулами
где
В этом случае
и формула (1.11) принимает вид
Примеры решения задач
Задача
1. Вычислить
двойной интеграл
по области
,
ограниченной кривыми
и
.
Решение. Область является стандартной относительно оси (рисунок 1.7)
Рисунок 1.7 |
Сводим двойной интеграл к повторному по формуле (1.8):
|
Вычисляем внутренний интеграл в повторном, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница:
Теперь вычисляем повторный интеграл:
Задача
2. Найти объем
тела
ограниченного поверхностями
Решение.
Данное тело можно представить в виде
где
― область на плоскости
ограниченная кривыми
и
т.е.
Согласно геометрическому смыслу двойного интеграла объем тела
Задача
3. Найти
моменты инерции относительно осей
координат пластины с плотностью
ограниченной кривыми
и расположенной в I
квадранте.
Решение. Данная пластина изображена на рисунке 1.8.
Рисунок 1.8 |
По
формулам (1.7) имеем
Для вычисления этих интегралов удобнее перейти к полярным координатам: |
Тогда
изменяется от
до
(рисунок 1.8), а при каждом значении
из отрезка
переменная
изменяется от
(значение
на кривой
уравнение которой в полярных координатах
в
квадранте имеет вид
)
до
( значение
на кривой
).
Следовательно, используя формулу (1.12),
получим
Аналогично
получаем
Тройной интеграл
Тройной интеграл и его приложения
Пусть
в некоторой замкнутой ограниченной
области
трехмерного пространства задана
ограниченная функция
Произведем относительно области
и функции
действия, подобные действиям при
составлении суммы (1.1), в результате
получим сумму
(1.14)
где
― объемы частей
на которые разбита область
―
координаты
точек
произвольно выбранных в этих частях
области
Сумма
(1.14) называется интегральной суммой
функции
соответствующей данному разбиению
области
на части
и данному выбору промежуточных точек
Пусть
― диаметр
,
Если
интегральная сумма (1.14) при
имеет предел, не зависящий от способа
дробления области
на части
и выбора точек
в них, то этот предел называется тройным
интегралом от функции
по области
и обозначается
(1.15)
а
функция
называется интегрируемой в области
.
Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области функция интегрируема в ней.
Тройные интегралы обладают такими же свойствами, как определенные и двойные интегралы ― линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.
Если
в области
функция
то тройной интеграл (1.15) равен объему
области
т. е.
(1.16)
Если считать объемной плотностью распределения вещества в области то интеграл (1.15) численно равен массе всего вещества, заключенного в области (физический смысл тройного интеграла).
С помощью тройного интеграла можно также вычислить:
а)
статические моменты тела относительно
координатных плоскостей
и
(1.17)
где
― плотность распределения вещества;
б) координаты центра масс тела:
(1.18)
где
― масса тела;
в) моменты инерции тела относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат:
(1.19)
При
вычислении тройных интегралов особую
роль играет понятие стандартной
трехмерной области, которое вводится
по аналогии со стандартной двумерной
областью. Так, например, область
ограниченная снизу и сверху непрерывными
поверхностями
и
― стандартная относительно оси
(рисунок 1.9).
Рисунок 1.9
Она обладает следующими свойствами.
1. Всякая прямая, параллельная оси и проведенная через внутреннюю точку области , пересекает границу области ровно в двух точках.
2. Вся область однозначно проецируется на плоскость в двумерную область (рисунок 1.9).
Тройной интеграл по области вычисляется так:
Здесь
внутренний интеграл берется по
при фиксированных, но произвольных в
значениях
и
В результате получается некоторая
функция
,
которая интегрируется затем по области
.
Если область
ограничена линиями
,
то, переходя от двойного интеграла
к повторному, получаем формулу
(1.20)
Если область не является стандартной, то с помощью плоскостей, параллельных какой-либо из координатных плоскостей, разбивают ее на конечное число стандартных областей.