Приклади

1. Знайти всі значення параметра при яких число знаходиться між коренями рівняння

* Згідно з умовою маємо звідки . ВІДПОВІДЬ: . *

2. Знайти всі значення параметра при яких рівно один корінь рівняння задовольняє умову

* Якщо рівняння має один корінь, то , тобто У разі маємо у разі одне з шуканих значень.

Якщо рівняння має два корені, то Нехай При рівняння має вигляд отже, не підходить. Лишається розглянемо випадок, коли Тоді згідно з умовою маємо або ВІДПОВІДЬ: або *

Нехай обидва корені рівняння різні і додатні. маємо систему

(1)

або

Ясно, що якщо виконується система (1), то рівняння має два різних додатних корені.

Приклади

4. Знайти всі значення параметра , при яких корені рівняння додатні і різні.

* Згідно із системою (1) маємо

звідки ВІДПОВІДЬ: *

5. Знайти всі при яких рівняння має два різних доданих корені.

* Згідно із системою (1) маємо

звідки ВІДПОВІДЬ: . *

З’ясуємо, за яких умов обидва корені рівняння різні і більші за деяке дійсне число α, тобто виконується умова Із цієї подвійної нерівності маємо, що . Покладемо тобто Тоді де корені рівняння або

Тепер згідно із системою (1) маємо

(2)

або

Приклади

6. Знайти всі значення параметра при яких обидва корені рівняння різні і більші за

*Згідно із системою (2) маємо

Розв’язків немає. ВІДПОВІДЬ: таких значень немає. *

7. При яких значеннях параметра корені рівняння різні і обидва більші за 1?

* Згідно із системою (2) маємо

звідки ВІДПОВІДЬ: *

Нехай корені рівняння різні і від’ємні, тобто Тоді, враховуючи теорему Вієта, маємо систему

(3)

Зрозуміло, що при виконання умов системи (3), рівняння має два різних від’ємних корені .

Приклад

8. При яких значеннях рівняння має два різних від’ємних корені?

* Згідно і з системою (3) маємо

звідки ВІДПОВІДЬ: при *

З’ясуємо за яких умов обидва корені рівняння різні менші за деяке фіксоване число α, тобто виконується умова . Звідси маємо Покладемо , або Тоді де корені рівняння або

Тепер згідно і системою (3) маємо

(4)

Приклад

9. При яких значеннях параметра обидва корені рівняння різні і менші за ?

* Згідно і з системою (4) маємо

звідки ВІДПОВІДЬ: при *

З’ясуємо, за яких умов обидва корені рівняння різні і належать проміжку , тобто . Ясно, що повинні виконуватися одночасно умови, що задаються системи (2) і (4), тобто виконується система нерівностей

(5)

Приклади

10. При яких значеннях параметра корені рівняння різні і менші по модулю за одиницю?

* Згідно з умовою, тобто обидва корені знаходяться на проміжку . Згідно із системою (5) маємо

звідки . ВІДПОВІДЬ: якщо *

11. Знайти всі значення параметра , при яких корені рівняння різні і знаходяться на проміжку .

* Згідно із системою (5) маємо

звідки ВІДПОВІДЬ: *

З’ясуємо питання, за яких умов лише менший корінь рівняння належить проміжку , тобто У цьому разі повинні одночасно виконуватися умови і (2):

З чотирьох нерівностей одержаної системи дві (а саме - та ) випливають із двох інших, тобто досить взяти систему

(6)

Дійсно, якщо , то отже, . Далі, із системи (6) випливає, що або (бо ). Оскільки , то і .