МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАІЇНИ

ГИМНАЗІЯ №4

НАУКОВО-ДОСЛИДНИЦЬКА РОБОТА

На тему: розв’язування нестандартних рівнянь

Виконав:Яценко Олексій

Керівник:_____________

Миколаїв

2012

Квадратні рівняння

Квадратним називається рівняння виду ax² + bx + c = 0, де a, b, c ­– фіксовані дійсні числа, a 0.

Якщо хоч один із коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, квадратне рівняння називається неповним.

Розглянемо, як розв’язуються неповні квадратні рівняння:

а) якщо c=0, b≠0, тоді ax²+bx=0 ↔ отже, рівняння має два корені: x₁ =0, x₂= - ;

б) якщо b = 0, c ≠ 0, тоді ax² + c = 0, x² = , причому при рівняння не має розв’язків, якщо ж рівняння має два розв’язки: ;

в) якщо тоді і .

Приклади

1. Розв’язати рівняння

*

Відповідь: .*

2. Розв’язати рівняння .

*

Відповідь: .*

3. Розв’язати рівняння

* Відповідь: розв’язків немає. *

При досліджені квадратного тричлена було доведено, що квадратне рівняння має два різних корені: , де . Якщо , то квадратне рівняння має один корінь . Нарешті, якщо , розв’язків немає.

Приклади

1.Розв’язати рівняння

* Послідовно знаходимо: ;

17 . Рівняння має два розв’язки: . Відповідь: .*

2. Розв’язати рівняння

* Рівняння має два розв’язки: Відповідь: *

3. Розв’язати рівняння

* Рівняння не має розв’язків. Відповідь: розв’язків немає.*

4. Розв’язати рівняння

* Це рівняння не є квадратним, але зводиться до квадратного:

Розв’яжемо рівняння Маємо . звідки Маємо систему:

звідки Відповідь:

У випадку, коли середній коефіцієнт , формула розв’язків квадратного рівняння спрощується. Нехай тоді

Приклади

5. Розв’язати рівняння

* Тут За формулою маємо звідки Відповідь: *

6. Розв’язати рівняння

* Це рівняння з параметром не є квадратним, але зводиться до квадратного. ОДЗ: В області допустимих значень маємо , або звідки отже, Згадаємо, що таким чином, звідки . При дане рівняння має вигляд , звідки Відповідь: при рівняння має два розв’язки: при при рівняння втрачає сенс.*

Нехай квадратне рівняння має корені (можливо, . Помітимо, що .

У випадку, коли Многочлени і тотожно рівні. Отже, , звідки виходять рівності .

З наведених міркувань випливає справедливість теореми Вієта: для того щоб числа коренями квадратного рівняння , необхідно і достатньо,щоб виконувалися рівності .

Зокрема, якщо ­- корені квадратного рівняння

Приклади

1. Знайти суму квадратів коренів рівняння

* Нехай ­ - корені даного рівняння (вони існують, бо ). Згідно з теоремою Вієта, . Тепер маємо Відповідь: 3. *

2. При яких значеннях параметрів рівняння має корені , якщо ?

* Згідно з теоремою Вієта, маємо систему рівнянь

Враховуючи, що , здобудемо значення цих параметрів: .

ПЕРЕВІРКА. Рівняння має корені ВІДПОВІДЬ: *

3. При якому значенні корені рівняння задовольняють умову ?

* Згідно з теоремою Вієта, . Маємо систему

звідки . Тепер, згідно з теоремою Вієта, одержимо . ВІДПОВІДЬ: *

4. Обчислити суму обернених величин коренів рівняння

* Нехай корені даного рівняння. За теоремою Вієта

Далі маємо ВІДПОВІДЬ: *

5. При якому значенні параметра різниця коренів рівняння дорівнює ?

* Нехай корені даного рівняння і Згідно з теоремою Вієта, Маємо систему

звідки За теоремою Вієта отже,

ВІДПОВІДЬ: . *

6. Сума квадратів коренів рівняння дорівнює 10. Знайти .

* Нехай корені квадратного рівняння. Згідно з теоремою Вієта, . За умовою, . Отже, звідки ВІДПОВІДЬ: *

ЗАУВАЖЕННЯ. Дискримінант даного рівняння отже, корені існують при будь якому

7. Скоротіть дріб

* Якщо корені квадратного тричлена Розкладемо чисельник і знаменник даного дробу на множники. Чисельник: Отже, Знаменник: Отже, Тепер маємо ВІДПОВІДЬ: *

8. корені рівняння Скласти квадратне рівняння, коренями якого є числа

* 1-й спосіб. Шукане рівняння має вигляд звідки

Згідно з теоремою Вієта, Тепер із рівняння маємо При бажанні одержати рівняння із цілими коефіцієнтами, до множимо обидві частини останнього рівняння на 3 і одержимо

2-й спосіб. Якщо корінь рівняння корінь рівняння Отже, якщо корені рівняння корені рівняння ВІДПОВІДЬ: . *

9. корені рівняння Скласти квадратне рівняння, коренями якого є числа .

* 1-й спосіб. За теоремою Вієта Нехай шукане рівняння має вигляд , тоді

Отже, шукане рівняння

2-й спосіб. Якщо корінь рівняння то корінь рівняння Тому , якщо корені рівняння то корінь рівняння ВІДПОВІДЬ: *

10. При якому значенні параметра рівняння мають спільний корінь?

* 1-й спосіб. Нехай перше рівняння має корені а друге Згідно з теоремою Вієта, маємо дві системи

Ясно, що жодне з чисел не дорівнюють нулю. Розділивши другі рівняння, маємо . Віднявши від рівняння рівняння , одержимо, що Тепер маємо систему

звідки

При дані рівняння не мають коренів, отже, , із останього рівняння одержимо Тепер із рівняння маємо , з рівняння одержимо а з рівняння здобудемо

2-й спосіб. Нехай спільний корінь даних рівняння. Тоді звідки . Оскільки З рівності маємо

ПЕРЕВІРКА. При перше задане рівняння має корені , а друге один корінь (або два однакових корені) 1. ВІДПОВІДЬ: при . *

У деяких випадках можна розв’язати квадратне рівняння усно.

Теорема. Якщо , то квадратне рівняння має корені

* Дійсно, (за умовою). Згідно з теоремою Вієта, , звідки *

Наприклад, рівняння має корені (бо і (за теоремою Вієта) Рівняння має корені Рівняння має корені

Розглянемо ряд типових задач, пов’язаних із розв’язанням квадратних рівнянь з параметром.

Нехай корені рівняння мають різні знаки. Тоді , тобто коефіцієнти мають різні знаки. Ця умова є необхідною і достатньою для того, щоб корені існували і мали різні знаки, бо , оскільки . Ми довели теорему. Для того щоб числа 0 знаходилось між коренями рівняння , необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова .

Розглянемо задачу, що узагальнює одержаний результат. З’ясуємо, за яких умов фіксоване число знаходиться між коренями рівняння , тобто виконується умова

З умови випливає, що Нехай Тоді , де корені рівняння або Як було з’ясовано раніше, для виконання умови необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова