Задания

2.1. Данные о распределении шести рабочих столярного цеха по уровню квалификации (тарифным разрядам) оказались:

Порядковые номера рабочих	1	2	3	4	5	6
Тарифные разряды	4	6	2	2	3	5

Вычислить средний тарифный разряд рабочих.

2.2. Для статистического распределения, полученного в задаче 1.2, вычислить , S², s, Мо, Ме, R, V. Найти функцию F*(х) и изобразить ее графически.

2.3. Для статистического распределения, полученного в задаче 1.3, вычислить , S², s, Мо, Ме, R, V. Найти функцию F*(х) и изобразить ее графически.

Указание. В качестве конкретных значений х берут середины интервалов.

Занятие 3. МЕТОД ПРОИЗВЕДЕНИЙ (МЕТОД

УСЛОВНОГО НУЛЯ). ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ДИСПЕРСИЙ

Если разность между любыми двумя соседними вариантами есть величина постоянная, то говорят о равноотстоящих вариантах, т.е. x_{k + 1} - - х_k = h – const, h – шаг. В этом случае удобно выборочные среднюю и дисперсию находить методом произведений по формулам

= U' h + C, S² = (U" - (U')²)h² n/(n-1),

где U' = U_in_i/n и U" = U²_in_i/n, U_i = (x_i - C)/h – условные варианты, i = 1,2,...,k.

С – ложный нуль или новое начало отсчета. В качестве С рекомендуется выбирать варианту, стоящую в середине. В случае четного числа вариант из двух вариант, стоящих в середине, выбирают варианту с наибольшей частотой.

Пример 3.1. Распределение месячной заработной платы 100 строителей задано таблицей:

Заработная плата (сом)	500-600	600-700	700-800	800-900	900-1000	1000-1100	1100-1200
Число рабочих	3	11	20	30	19	12	5

Вычислить , S², s методом произведений.

Решение

В качестве конкретных значений признака возьмем середины интервалов: х₁ = 550, х₂ = 650, х₃ = 750, х₄ = 850, х₅ = 950, х₆ = 1050, х₇ =1150. Имеем случай равноотстоящих вариант с h = 100. Выберем С = 850.

Тогда

U₁ = (550 - 850)/100 = -3, U₂ = (650 - 850)/100 = -2,

U₃ = (750 - 850)/100 = -1, U₄ = (850 - 850)/100 = 0,

U₅ = (950 - 850)/100 = 1, U₆ = (1050 - 850)/100 = 2,

U₇ = (1150 - 850)/100 = 3.

Ряд из условных вариант будет иметь вид:

Ui	-3	-2	-1	0	1	2	3	Итого
ni	3	11	20	30	19	12	5	100

Вычислим

U' = (-33 -211 -120 + 030 + 119 + 212 + 35)/100 = 0.07

U" = ((-3)²3 + (-2) ²11 + (-1) ²20 + 1²19 + 2²12 + 3²5)/100 = 2.03

Тогда = U' h + C = 0.07100 + 850 = 857

S² = (U" - (U')² )h² n/(n – 1) = (2.03 - (0.07)²)100³ /99 = 20456, s = 143.

Пусть вся совокупность разбита на группы. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти ее среднюю и дисперсию.

Групповой средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе.

Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.

Если j – номер группы, j = 1,2,…,k, где k – количество групп,

– значения признака в j-й группе,

– частоты признака в j-й группе,

n_j - объем j-й группы,

то групповые средние, a S_j² = – групповые дисперсии.

Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую групповых дисперсий, взвешенных по объемам групп.

S²_внутр = .

Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общей средней.

S²_межгр = .

Среднюю и дисперсию, вычисленные для всей совокупности, называют общими и обозначают и .

Справедлива формула = + , известная как правило сложения дисперсий.

Пример 3.2. Распределение рабочих строительного треста по стажу работы оказалось следующим:

UI	Стаж работы, лет	Число рабочих
		СМУ-1	СМУ-2	СМУ-3	Всего
-2	0 – 5	1	13	21	35
-1	5 – 10	5	5	15	25
0	10 – 15	6	4	7	17
1	15 – 20	4	3	4	11
2	20 – 25	3	3	1	7
3	25 – 30	1	2	2	5
Итого		20	30	50	100

Проверить правило сложения дисперсий.

Решение

Конкретные значения признака: х₁ = 2,5; х₂ = 7,5; х₃ = 12,5; х₄ = 17,5; х₅ = 22,5; х₆ = 27,5. Варианты равноотстоящие, с шагом h = 5.

Перейдем к условным вариантам U_i = (х_i - C)/h, выбрав С = 12,5. Тогда U₁ = -2, U₂ = -1, U₃ = 0, U₄ = 1, U₅ = 2, U₆ = 3. Запишем их в столбец, левее столбца х. Вся совокупность – строительный трест – разбита на три группы. Вычислим групповые и общие средние и дисперсии методом произведений.

= (-21 -15 + 14 + 23 + 31)/20 = 0.3 – средняя из условных вариант для 1-й группы,

= (-213 -15 + 13 + 23 + 32)/30 = -0.53 – средняя из условных вариант для 2-й группы,

= (-221 -115 + 14 + 21 + 32)/50 = -0.9 – средняя из условных вариант для 3-й группы,

= (-235 -125 + 111 + 27 + 35)/100 = -0.55 – средняя из условных вариант для всей совокупности.

" = ((-2)²1 + (-1) ²5 + 1²4 + 2²3 + 3²1)/20 = 1.7,

" = ((-2) ²13 + (-1) ²5 + 1²3 + 2²3 + 3²2)/30 = 3,

" = ((-2) ²21 + (-1) ²15 + 1²4 + 2²1 + 3²2)/50 = 2.5,

" = ((-2) ²35 + (-1) ²25 + 1²11 + 2²7 + 3²5)/100 = 2.49.

Вычислим: = h + C = 0.35 + 12.5 = 14;

= h + C = -0.535 + 12.5 = 9.85;

= h + C = -0.95 + 12.5 = 8;

_общ = h + C = -0.555 + 12.5 = 9.75.

Вычислим дисперсии по формуле

S² = (U" - (U')² )h² n/(n – 1)

S²₁ = (1.7 - (0.3)²)5² 20/19 = 42.37,

S²₂ = (3 - (-0.53)²)5² 20/29 = 70.23,

S²₃ = (2.5 - (-0.9)²)5² 50/49 = 43.11.

Теперь вычислим

S²_внутр = (42.3720 + 70.2330 + 43.1150)/100 = 50.67,

S²_межгр = ((14 - 9.75)²20 + (9.85 -9.75)²30 + (8 - 9.75)²50)/100 = 5.15,

= 50.67 + 5.15 = 55.82.