Програма кваліфікаційного екзамену
1. Питання з математики
Аксіоматичний метод побудови математичної теорії. Вимоги до системи аксіом та їх перевірка. Приклади (аксіоматики Пеано, Вейля).
Математичні структури. Структурний підхід до предмету математики. Формальні та неформальні аксіоматичні теорії. Теорема Гьоделя про неповноту.
Системи множин. Півкільце, кільце, алгебра,
-алгебра
та їх властивості. Породжені системи
множин. Борелівська множина,
-алгебра
борелівських множин.Вимірний простір. Вимірний простір з мірою, ймовірнісний простір. Приклади. Різні підходи до означення ймовірності. Випадкова величина та її розподіл.
Потужність множини. Властивості зчисленних та континуальних множин. Теорема про існування множин як завгодно великих потужностей. Приклади гіперконтинуальних множин.
Алгебраїчні структури. Напівгрупи, групи, кільця, поля. Гомоморфізм та ізоморфізм алгебраїчних структур. Предмет теорії груп (кілець, полів).
Теорія чисел. Аксіоматична теорія дійсних чисел та її різні моделі. Геометрія чисел. Метрична та ймовірнісна теорії чисел. Нормальні властивості дійсних чисел. Частота цифри системного числа. Слабонормальні та нормальні числа.
Функції множин. Приклади. Геометричні величини. Елементи теорії вимірювання довжин відрізків, площ многокутників, об’ємів многогранників. Квадровні та кубовні фігури. Міра. Одновимірна та двовимірна міра Лебега. Ймовірнісні міри. Проблема існування невимірних множин.
Ряди: Ознаки збіжності числових рядів. Нескінченні добутки та ознаки їх збіжності. Степеневі ряди, розклад елементарних функцій в степеневі ряди. Ряди Фур’є. Умови збіжності рядів Фур’є в точці та рівномірної збіжності на проміжку.
Розвиток поняття інтеграла. Інтеграл Рімана, інтеграл Лебега, інтеграл Лебега-Стілть’єса. Збіжність за мірою та збіжність майже всюди . Теореми про граничний перехід під знаком інтеграла Лебега.
Системи числення. Функції зі складною локальною поведінкою (сингулярні, звивисті та недиференційовні функції).
Самоподібність і самоафінність множин, функцій, мір.
Метричні простори. Приклади. Збіжність в метричних просторах. Сепарабельні метричні простори. Повні метричні простори. Стискуючі відображення. Теорема Банаха та її застосування. Множини першої та другої категорій Бера. Теорема Бера. Суть методу категорій.
Топологічні простори. Означення та Приклади. Методи введення топології. Порівняння топологій. Збіжність в топологічних просторах. Аксіоми зліченності. Аксіоми віддільності. Проблема метризовності топологічного простору. Неперервні відображення топологічних просторів. Гомеоморфізми. Предмет топології. Топологічні властивості і проблема гомеоморфізму. Топологічні многовиди. Означення лінії.
Функціональний аналіз. Нормовані лінійні простори. Приклади. Збіжність в нормованих лінійних просторах. Банахові простори. Гільбертові простори. Приклади. Ортонормовані базиси. Загальний вигляд лінійного неперервного функціонала в гільбертовому просторі. Лінійні, неперервні, обмежені оператори. Норма оператора. Самоспряжені оператори.Теорема Хана - Банаха.
Різні поняття розмірності множини. Топологічна розмірність. Розмірність Хаусдорфа-Безиковича. Фрактали. Приклади фракталів. Фрактальна геометрія.
Динамічна система. Приклади. Атрактор та репелер динамічної системи. Інваріантні множини. Інваріантні міри. Ергодична теорія динамічних систем. Ергодична теорема Біркгофа та її застосування. Інваріантні та періодичні точки динамічної системи. Теорема Шарковського. Хаотичні динамічні системи.
Граничні теореми теорії ймовірностей. Збіжність за ймовірністю та збіжність з імовірністю 1. Лема Бореля-Кантеллі. Закони нуля та одиниці. Закон великих чисел. Посилений закон великих чисел. Закон повторного логарифма. Збіжність рядів незалежних випадкових величин. Центральна гранична теорема та її роль.
Елементи теорії випадкових процесів. Ланцюги Маркова та їх властивості. Марківські випадкові процеси. Пуасонівські випадкові процеси.
Груповий погляд на геометрію. Ерлангенська програма Ф. Клейна. Груповий погляд на евклідову геометрію, афінну геометрію, проективну геометрію, топологію, фрактальну геометрію.
Симетрії геометричної фігури. Група симетрій геометричної фігури та її підгрупи.
Математичні моделі та методи їх побудови і дослідження, різні класифікації математичних моделей. Приклади математичних моделей у фізиці, економіці та інформатиці.
Оптимізаційні задачі. Моделі та методи лінійного та нелінійного програмування (графічний метод, симплекс-метод, метод множників Лагранжа).
Статистичні моделі та методи. Статистичні гіпотези та статистичні критерії. Приклади застосувань.
Економетричні моделі та методи, їх застосування в прогнозуванні Метод найменших квадратів та його узагальнення. Побудова та аналіз лінійних і нелінійних економетричних моделей.