Пряма задача
Двоїста задача
Рішення. Вирішимо пряму задачу з допомогою симплекс-методу. Приведемо задачу до канонічної форми:
Оскільки
в задачі немає базису то додамо штучну
змінну
і запишемо розширену М-задачу:
Складемо симплекс-таблицю (таблиця 1)
Таблиця 1
Сбаз |
Хбаз |
Аі0 |
5 |
12 |
4 |
0 |
-М |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
Х5 |
|||
0 -M |
Х4 S1 |
10 8 |
1 2 |
2 -1 |
1 3 |
1 0 |
0 1 |
|
|
-8M |
-2M-5 |
-M-12 |
-3M-4 |
0 |
0 |
0 4 |
Х4 Х3 |
22/3 8/3 |
1/3 -1/3 |
7/3 -5 |
0 1 |
1 0 |
-1/3 1/3 |
|
|
32/3 |
-7/3 |
-40/3 |
0 |
0 |
4/3+М |
12 4 |
Х2 Х3 |
22/7 26/7 |
1/7 5/7 |
1 0 |
0 1 |
3/7 1/7 |
-1/7 2/7 |
|
|
368/7 |
-3/7 |
0 |
0 |
40/7 |
368/7 |
12 5 |
Х2 Х1 |
12/5 26/5 |
0 1 |
1 0 |
-1/5 7/5 |
2/5 1/5 |
-1/5 2/5 |
|
|
274/5 |
0 |
0 |
3/5 |
29/5 |
-2/5+М |
Оптимальне рішення прямої задачі: Хопт=(26/5, 12/5, 0), Z(Xопт)=274/5
Тепер скористаємось результатами розрахунків та знайдемо оптимальне рішення двоїстої задачі.
Почнемо з способу 3. Початковий базис складали вектори Х4 та S1. Тому оптимальні значення змінних двоїстої задачі дорівнюють:
У1=29/5+0=29/5
У2=-2/5+М+(-М)=-2/5
За допомогою другого способу отримуємо:
Спросіб 1 дає такий результат. Так як перша та друга змінні в оптимальному рішенні прямої задачі приймають додатні значення, то перше та друге обмеження двоїстої задачі виконуються як строгі рівності. Складемо та вирішимо систему рівнянь.
Звідки, У1=29/5, У2=-2/5.
З першої теореми двоїстості виходить, що оптимальне значення цільової функції двоїстої задачі дорівнює : F(Yопт)=274/5.
Контрольні завдання:
1. Побудувати задачу, двоїсту до наступної задачі ЛП:
Варіанти завдань задані в таблиці 1
Таблица 1
№ |
* |
** |
*** |
№ |
* |
** |
*** |
№ |
* |
** |
*** |
№ |
* |
** |
*** |
1 |
|
= |
|
6 |
= |
|
|
11 |
|
|
|
16 |
= |
= |
|
2 |
|
|
|
7 |
|
|
|
12 |
= |
|
|
17 |
|
= |
|
3 |
|
|
|
8 |
|
|
|
13 |
|
|
= |
18 |
|
|
= |
4 |
= |
|
|
9 |
|
|
|
14 |
|
= |
|
19 |
= |
= |
|
5 |
|
|
= |
10 |
|
|
= |
15 |
= |
|
|
20 |
|
= |
|
Вирішити задачу симплекс-методом та використовуючі оптимальну симплекс-таблицю знайти оптимальне рішення двоїстої задачі. Перевірити розв’язок двоїстої задачі графічним методом.
Варіанти завдань задані в таблиці 3:
Таблиця 3
№ |
a |
b |
c |
№ |
a |
b |
c |
№ |
a |
b |
c |
№ |
a |
b |
c |
1 2 3 4 5 |
1 1 1 1 1 |
1 2 3 4 5 |
4 1 3 2 4 |
6 7 8 9 10 |
2 2 2 2 2 |
1 2 3 4 5 |
1 3 2 4 1 |
11 12 13 14 15 |
3 3 3 3 3 |
1 2 3 4 5 |
3 2 4 1 3 |
16 17 18 19 20 |
4 4 4 4 4 |
1 2 3 4 5 |
2 4 1 3 2 |
Питання для самоконтролю:
Чи до кожної задачі лінійного програмування можна побудувати двоїсту задачу?
Як визначаеться кількість змінних двоїстої задачі.
Як визначаються умови невід’ємності змінних двоїстої задачі.
Як пов’язані між собою оптимальні рішення прямої та двоїстої задач.
Які є способи відшукання оптимального рішення двоїстої задачі не вирішуючи її безпосередньо.