Лабораторна робота №3

Тема: Визначення двоїстої задачі та основні співвідношення двоїстості

Мета роботи: Ознайомитися з основними поняттями теорії двоїстості, вивчити правила побудови двоїстих задач, та методи знаходження рішення двоїстої задачі за допомогою рішення прямої.

Ключеві слова: Двоїста задача, симетрична (несиметрична) пара двоїстих задач

Теоретичні відомості

Кожній задачі лінійного програмування можна сопоставити деяким образом з нею звязану іншу задачу, яка називаєтся двоїстою по відношенню до першої.

Двоїста задача получаєтся шляхом симетричного структурного перетворення умов прямої задачі відповідно до наступної схеми

	x1≥0	...	xі≥0	xі+1	...	xn
y1≥0	a11	…	a1i	a1i+1		a1n	≤	b1
...	...	...	...	...	...	...	...	...
yk≥0	ak1	…	aki	aki+1		akn	≤	bk
yk+1	ak+11	…	ak+1i	ak+1i+1		ak+1n	=	bk+1
...	...	...	...	...	...	...	...	...
ym	am1	…	ami	ami+1		amn	=	bm
	≥0	...	≥0	=	...	=
	c1	…	ci	ci+1	…	cn

Якщо задача записана в загальному виді, то для того щоб записати двоїсту задачу використовують наступні правила:

1. упорядковується запис вихідної задачі, т.є. якщо цільова функція задачі максимізуєтся, то обмеження-нерівності повинні бути виду ≤, якщо мінімізуєтся, то виду ≥. Виконування цих умов досягається множенням відповідних обмежень на (-1).

2. якщо вихідна задача являєтся задачею максимізації, то двоїста буде задачею мінімізації. При цьому вектор, утворений з коеффіцієнтів при невідомих цільової функції вихідної задачі, співпадає з вектором констант в правих частинах обмежень двоїстої задачі. Аналогично звязані між собою вектори,що образуються з коеффициєнтів при невідомих цільової функції двоїстої задачі, и константи в правих частинах обмежень исходної задачі;

3. кожній змінній y_i двоїстої задачі відповідає i-е обмеження ісходної задачі та, навпавки, кожній змінній x_j прямої задачі відповідає j-е обмеження двоїстої задачі;

4. матриця з коефіцієнтів при невідомих двоїстої задачі А^Т отримується транспонуванням матриці складеної з коефіцієнтів при невідомих ісходної задачі;

5. якщо на j-ю змінну ісходної задачі накладена умова невідємності, то j-е обмеження буде нерівністю, в противному випадку j-е обмеження буде рівністю; аналогично звязані між собою обмеження ісходноі задачі та змінні двоїстої.