Види математичних моделей двоїстих задач.

Двоїсті пари задач ділять на симетричні и несиметричні. В несиметричнbх двоїстих задачах система обмежень ісходної задачі задається в виді рівностей, а двоїстої – у виді нерівностей, причому в останній змінні можуть бути і відємними.

В симетричній парі двоїстих задач обмеження прямої задачі та обмеження двоїстої задачі являются нерівностями, причому на двоїсті змінні налагаються умови невід’ємності.

Несиметричні задачі

(1) Пряма задача Двоїста задача

=

(2) Пряма задача Двоїста задача

Симетричні задачі

(3) Пряма задача Двоїста задача

(4) Пряма задача Двоїста задача

Приклад. Побудувати двоїсту задачу для данної:

Рішення. Приведемо умову задачі до відповідного вигляду: так як цільова функція задачі на максимум, то всі обмеження приведемо до виду .

Так як в ісходній задачі три обмеження, то двоїста задача буде мати три змінні. Обмежень в двоїстій задачі буде два (по кількості змінних ісходної задачі), причому перше обмеження буде рівністю, так як на першу змінну не накладена умова невідємності, і напроти друге обмеження буде нерівністю. Умови невідємності в двоїстій задачі будуть мати тільки друга та третя змінні (за знаками нерівностей ісходної задачі). Маємо двоїсту задачу:

Звязок між рішеннями прямої та двоїстої задачі

Залежності, що існують між рішеннями прямої та двоїстої задач характеризуються сформульованими нижче теоремами і твердженями:

Твердження:

1. Для любої пари допустимих рішень прямої та двоїстої задач

з начення цільової значення цільової

функції в задачі функції в задачі

максимізації мінімізації

2) В точці, що відповідає оптимальним рішенням обоїх задач

З начення цільвої значення цільової

функції в задачі функції в задачі

максимізації мінімізації

Відмітимо, що ці результати не звязані з тим, яка з задач пряма, а яка – двоїста.

Теорема 1. (Перша теорема двоїстості).

1. Якщо одна з двоїстих задач має оптимальне рішення, то друга також має оптимальне рішення, причому для любих оптимальних рішень и виконується рівність

.

2. Якщо одна з двоїстих задач не має розвязку через (або ), то друга задача не має допустимих рішень.

Теорема 2. (Друга теорема двоїстості).

Якщо для оптимального рішення однієї з задач деяка нерівність виконується як строга нерівність, то відповідна йому змінна в кожному оптимальному рішенні двоїстої задачі рівна нулю.

Навпаки, якщо деяка змінна в оптимальному рішенні додатня, то відповідна їй нерівність двоїстої задачі любим її оптимальним рішенням обращається в рівність.

Якщо , то і якщо , то

Навпаки,

Якщо , то і якщо , то .

Один из основних висновків, що випливає з основних теорем двоїстості, заключаєтся в тому, що рішення однієї з двоїстих задач еквівалентно решенню другої задачі. Отримати рішення другої задачі можна декількома способами.

Перший спосіб: Рішення двоїстої задачі можна знайти використовуючи першу і другу теореми двоїстості.

З першої теореми двоїстості можемо отримати оптимальне значення цільової функції двоїстої задачі, зная, що значення цільових цільових функцій двоїстих задач в їх оптимальних рішеннях співпадають.

Друга теорема двоїстості говорить про те, що якщо в оптимальному рішення однієї з задач деякі змінні получають строго додатні значення, то відповідні їм обмеження двоїстої задачі виконуються як строгі рівності. Таким чином, ми можемо скласти систему рівнянь з відповідних обмежень, і , вирішивши її знайти оптимальне рішення двоїстої задачі.

Другий спосіб: якщо - оптимальне рішення прямої задачї, - вектор-строка, складена з коефіцієнтів при базисних змінних в цільовій функції, - матриця, обернена до базисної матрицї, то вектор - оптимальне решення двоїстої задачі.(знак “+” береться, якщо ісходна задача на максимум, знак “–“ берем, якщо ісходна задача вирішується на мінімум)

Третій спосіб: Крім того, i-у двоїсту змінну можна отримати з значення оцінки , що стоїть проти відповідного вектора, який входив в початковий одиничний базис, якщо до неї прибавити відповідне значення коефіцієнта цільової функції . (Знаки визначаються як у випадку 2)

Приклад 2. Знайти рішення прямої та двоїстої задач.