Лабораторна робота №4 Тема: Транспортні моделі

Мета роботи: Познайомитися зі спеціальним класом задач лінійного програмування транспортними задачами і зі способом їх розв'язання

Ключові слова: транспортна задача (ТЗ), поставщики, споживачі, перевезення, опорний план ТЗ, відкрита / закрита ТЗ, система потенціалів

Теоретичні відомості

Транспортними моделями (задачами) називаються задачі визначення оптимального плану перевезень вантажу з даних пунктів відправлення ( початковий пункт, наприклад місце виробництва, або склад) в задані пункти споживання (магазин, грузохранилище, знову ж склад).

1. Постановка задачі і її математична модель.

Найпростіше формулювання транспортної задачі, яке отримало назву задачі по критерію вартості, наступна:

деякий однорідний продукт, зосереджений у m постачальникiв A_i в кількостях a_i (i=1, m) одиниць відповідно, необхідно доставити n споживачам B_j в кількостях b_j (j= 1, n) одиниць. Відома вартість с_ij перевезення одиниці вантажу від i - го постачальника до j - го споживача.

Нехай x_ij - кількість одиниць вантажу, що перевозиться з початкового пункту i в пункт призначення j; тоді задача лінійного програмування транспортного типу в загальному вигляді формулюється таким чином:

мінімізувати z =

при обмеженнях

, i=1,…, m (сумарний об'єм перевезень з деякого початкового пункту не може перевищувати запаси, що є )

, j=1,…, n (сумарні перевезення продукції в деякий пункт споживання повністю задовольняє попит)

x_ij 0,

Якщо сумарні запаси рівні сумарному попиту = , то задача називається закритою (або збалансованою) транспортною задачею. У цьому випадку модель має вигляд:

min

= a_i, i=

= b_j, j=

x_ij 0,

Особливістю транспортної моделі є:

1. Коефіцієнти при невідомих у всіх умовах- обмеженнях рівні одиниці.

2. Кожна змінна зустрічається тільки в двох рівняннях- обмеженнях.

3. Система рівнянь симетрична відносно всіх змінних x_ik.

Основні властивості закритої транспортної задачі.

1. Закрита ТЗ в будь-якому випадку допустима і вирішувана.

2. Ранг матриці системи обмежень задачі рівний m+n-1. З цього слідує, що кожний опорний розв'язок буде мати r=m+n-1 базисних змінних і k=mn-(m+n-1)=(m-1)(n-1) вільних змінних.

3. Якщо в задачі все a_i і всі b_j - цілі числа, то хоч би один її оптимальний розв’язок також цілочисельний

.

2. Розв’язання закритої транспортної задачі.

Розв’язання ТЗ буде проводитися за допомогою загального прийому послідовного поліпшення розв'язків, який складається з наступних основних етапів:

1. визначення початкового опорного розв’язку;

2. оцінка цього розв’язку;

3. перехід до наступного розв’язку шляхом однократного заміщення однієї базисної змінної на вільну.

Спеціальний метод розв’язання транспортної задачі, заснований на симплекс- методі, передбачає використання транспортних таблиць (таблиця 1)

Таблиця 1

Постачальник	Споживач				Запас
	В1	В2	…	Вn
А1	Х11 С11	Х12 С12		Х1n С1n	а1
А2	Х21 С21	Х22 С22		Х2n С2n	а2
…					…
Аm	Хm1 Сm1	Хm2 Сm2		Хmn Сmn	аm
Потреба	b1	b2	…	bn	bj = aj

Змінні x_ij - називають перевезеннями.

Матриця ||x_ij|| називається планом перевезення.