Поліконічна проекції
Поліконічними називаються проекції, у яких паралелі – дуги ексцентричних кіл з центрами, розташованими на середньому прямолінійному меридіані, а меридіани – криві, симетричні відносно середнього меридіана і екватора (рис. 9.8). Ці проекції можуть бути рівнокутні, рівновеликими і довільними за характером спотворень. Розрізняють поліконічні проекції в широкому сенсі, з яких найбільше застосування і значення має рівнокутна проекція, в якій всі меридіани і паралелі зображуються колами (проекція Лагранжа).
У
поліконічних
проекціях
у
вузькому
сенсі
радіуси
паралелей
рівні
і
частковий
масштаб
довжин
вздовж
середнього
меридіана
,
зокрема
.
З цих проекцій найбільшого поширення (особливо в США) отримала проста поліконічна проекція для створення карт у широкій і вузькій зонах, в якій додатково вводиться умова, що часткові масштаби довжин вздовж паралелей п=1.
Рисунок 9.8 – Поліконічна проекція
Проекції Гауса-Крюгера і uтм
Проекція Гауса-Крюгера призначена для картографування територій у вузькій зоні (для топографічних карт) і в широкій зоні.
У першому випадку проекцію отримують, виходячи з трьох умов: вона симетрична щодо середнього меридіана і екватора, вона рівнокутна і в ній на середньому меридіані немає спотворень довжин.
Проекцію Гауса-Крюгера в широкій зоні отримують шляхом послідовного виконання трьох рівнокутних відображень: спочатку рівнокутного відображення еліпсоїда на поверхню кулі за способом Мольвейде, потім визначають прямокутні координати проекції кулі Гауса-Ламберта і нарешті відображають площину на площину під умовою збереження довжин на середньому меридіані.
Формули прямокутних координат, часткових масштабів довжин і зближення меридіанів проекції Гауса-Крюгера мають вигляд:
де
S – довжина дуги меридіана від екватора
до даної паралелі;
– квадрат другого ексцентриситету
еліпсоїда.
Проекція
UТМ,
що
знайшла
широке
поширення
в
країнах
НАТО,
відрізняється
від
проекції
Гауса-Крюгера
тим,
що
в ній
на
середньому
меридіані
частковій
масштаб
довжин
не
дорівнює
одиниці,
як
в
проекції
Гауса-Крюгера,
а
дорівнює
–
.
З урахуванням цього формули зв'язку цих проекцій приймають вигляд:
- при визначенні проекції UTМ в лівій системі прямокутних координат
- при визначенні проекції UТМ в правій системі прямокутних координат
де k= 0.9996.
Нульові ізокіли в проекції UTМ проходять приблизно паралельно середньому меридіану при відаленні від нього в обидві сторони близько 200 км.
Проекція Чебишева. Проблема вибору найкращих проекцій
Пріоритет у постановці та вирішенні проблеми вибору найкращих картографічних проекціях належить російським ученим.
У 1853 р. великий російський математик П.Л. Чебишев сформулював теорему про найкращі рівнокутні проекції, згідно з якою найкращими з них є проекції, у яких на контурі території, яка картагрофується, натуральний логарифм часткового масштабу довжин має постійне значення. Цю теорему в 1894 р. довів Д.А. Граве. Визначення цих проекцій зводиться до вирішення двох задач.
Спочатку на основі рішення рівняння Лапласа при заданих граничних умовах визначаються часткові масштаби довжин у точках області картографування за їх постійним значенням на контурі території.
Потім, записавши рівняння часткових похідних прямокутних координат за широтою та довготою з урахуванням отриманих значень масштабів, визначають прямокутні координати проекції.
На даний час розроблений ряд способів обчислення проекції Чебишева, використання якої забезпечує зменшення спотворень на картах до 4 разів у порівнянні з іншими рівнокутними проекціями.
У 1898 р. Н.Я. Цінгера висловив гіпотезу про отримання найкращих рівновеликих проекцій. У 1933 р. В.В. Каврайський показав недостатність цієї гіпотези, але конкретних рішень цієї проблеми не дав.
У 1968 р. Г.А. Мещеряков опублікував монографію, в якій критикував дослідження Н.Я. Цінгера і В.В. Каврайського, сформулював і довів теорему про отримання найкращої рівновеликої проекції для картографування території півкуль. Але загального рішення також не дав.
Таким чином, проблема отримання найкращих рівновеликих та інших за характером спотворень проекції поки ще не вирішена.