1.2 Формула Байеса
В двухэтапных опытах события Вi называются гипотезами. Их вероятности, известные до проведения опыта, называются априорными.
Допустим, что опыт произведен и событие А произошло. В этом случае вероятности гипотез могут быть пересчитаны по формуле Байеса. вероятности гипотез, пересчитанные с учетом того, что А произошло, называются апостериорными и пересчитываются так:
j — номер пересчитываемой гипотезы.
Пример 1. В первой урне 4 черных и 2 белых шара, во второй — 6 черных и 5 белых, в третьей — 2 черных и два белых. Из наугад выбранной урны был извлечен белый шар.
Найти вероятность того, что шар был извлечен из второй урны.
Решение. Событие А — извлечение белого шара из наудачу выбранной урны.
Событие Вi — выбор i-й урны.
Тогда вероятность каждого из событий Вi равняется (априорные вероятности).
Найдем апостериорную вероятность:
Пример 2. В команде стрелков 2 мастера спорта и 3 кандидата в мастера спорта. Вероятность поражения мишени МС — 0,9; поражения мишени КМС — 0,7. Один из стрелков команды выстрелил и мишень была поражена. Найти вероятность того, что этот стрелок — КМС.
Решение. Событие А — попадание при выстреле КМС.
В1 — стрелял КМС;
В2 — стрелял КМС.
Р(В1) = 2/5; Р(В2) = 3/5 (априорные вероятности).
Пример 3. В урне находится шар, причем известно, что он либо черный, либо белый. В урну положили один белый шар, после чего из нее извлекли один шар и он оказался белым. Найти вероятность того, что оставшийся в урне шар тоже белый.
Решение. Событие А — извлечение из урны белого шара.
Событие В1 — в урне был черный шар; В2 — в урне был белый шар.
Априорные вероятности: Р(В1) = Р(В2) = 0,5.
Найдем апостериорную вероятность:
2 Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа
2.1 Формула Бернулли
Пусть производится n независимых однотипных испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в серии из n испытаний событие А произойдет ровно k раз вычисляется по формуле Бернулли:
Пример. Вероятность того, что при проверке деталь окажется бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что при проверке 15 деталей 2 окажутся бракованными.
Решение. Событие А — при проверке 15 деталей 2 окажутся бракованными.
Здесь n=15; k=2; p=0.2.
Найдем
2.2 Локальная и интегральная теоремы Лапласа