3 Нормальный закон распределения случайных величин

Теорема Ляпунова. Если СВ образована суммированием большого количества независимых факторов (других СВ), причем влияние факторов на всю сумму мало, то эта СВ будет близка к нормальному закону распределения.

Большинство реальных СВ имеют распределение, близкое к нормальному.

СВ Х распределена по нормальному закону, если ее дифференциальная функция имеет следующий вид:

Если М и σ — произвольные числа, то распределение называется общим.

Если М=0 и σ =1, то распределение называется нормально нормированным.

Свойства кривой (дифференциальной функции) нормального распределения (кривая Гаусса):

1) определена на всей оси Ох;

2) положительна f(x)>0;

3) стремится к нулю при |x→∞|

4) симметрична относительно прямой х=М

5) имеет экстремум (максимум) при х=М

Интегральная функция нормального распределения

Общая:

Нормированная:

Вероятность попадания нормально распределенной СВ в заданный интервал [α; β] вычисляется по формуле:

Правило трех сигм. Вероятность того, что нормально распределенная СВ в результате опыта отклонится в обе стороны от своего мат. ожидания на величину, большую, чем 3σ, равна 0,0027, т.е. практически равна нулю.

Для количественной оценки степени отклонения некоторого распределения от нормального закона используются следующие характеристики:

1) асимметрия (искажение по горизонтали)

μ³ — центральный момент 3-го порядка

2) эксцесс (искажение по вертикали; характеризуется остроконечностью)

4 Выборка. Основные определения математической статистики. Полигон и гистограмма

Математическая статистика решает две большие группы задач:

1) сбор и группировка экспериментальных данных;

2) анализ собранных данных.

Выборкой х­_у называется совокупность объектов, отобранных для анализа.

Выборка осуществляется из генеральной совокупности.

Чтобы получить объективные данные по выборке, необходимо, чтобы она была репрезентативной.

Исходные данные вначале имеют вид значений признака х_у, у=1,2,..,n.

В дальнейшем результате измерения обрабатываются с целью получения статистического распределения.

Диапазон изменения х разбивается на k интервалов с шагом h:

(x_i, n_i), i=1,2,..,k — статистическое распределение частоты.

(x_i, w_i), i=1,2,..,k — статистическое распределение относительной частоты (приблизительно равно закону распределения вероятностей).

Эмпирической функцией называется относительная частота события х<X.

F^*(х) является аналогом и оценкой интегральной функции распределения вероятностей и стремится к ней при n→∞.

Полигон частот ломаная, соединяющая точки на плоскости (x_i, n_i), i=1,2,..,k.

Полигон относительных частот ломаная, соединяющая точки на плоскости (x_i, w_i), i=1,2,..,k.

Гистограмма частот — ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями h (шаг) и высотами .

Площадь гистограммы частот равна объему выборки!!!

Гистограммой относительных частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями h и высотами .

Площадь гистограммы относительных частот равна единице!!!

Гистограмма относительных частот является аналогом и оценкой дифференциальной функции распределения вероятностей.