Тема 1.2.1: Таблица истинности комбинационных цифровых устройств (кцу). Минимизация, ее задачи.

1. Синтез комбинационных цифровых устройств.

2. Минимизация с помощью диаграмм Вейча (карт Карно) (материал для СРС).

1. Синтез комбинационных цифровых устройств.

ЦУ начинают создавать с определения логической функции, которая описывает принцип действия схемы. Эту задачу называют логическим синтезом.

Синтез комбинационных логических схем содержит 4 этапа:

1. Составляется таблица функционирования логической цепи – таблица истинности. Эта таблица показывает, чему равен выходной сигнал цепи при различных сочетаниях входных сигналов.

2. Запись логической функции по таблице истинности в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ) или в совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ).

3. Минимизация логической функции с помощью карт Карно для получения минимальных форм функции, которые при реализации дают возможность использовать минимальное количество логических элементов заданного типа.

4. Построение логической схемы по полученной минимальной форме логической функции.

При табличном способе задания логическая функция представляется в виде таблицы, в которой записываются все возможные наборы значений аргументов и соответствующее каждому набору аргументов значение логической функции 0 или 1. Наборы аргументов в таблице записывают в порядке возрастания.

Пример 1:

Выполним п.1, составим таблицу функционирования логической цепи, например, для построения ячейки «голосования» на три входа, т.е. такую ячейку, у которой сигнал на выходе равен единице тогда, когда большинство входных сигналов равно единице.

N	X1	x2	x3	F
0 1 2 3 4 5 6 7	0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 0 0 1 0 1 1 1

Существуют две формы записи логической функции в аналитическом виде – СДНФ и СКНФ.

Форму записи логической функции называют нормальной, если в каждый член логической суммы (произведения) аргумент или его инверсия входит не более одного раза.

Если каждый член логического выражения содержит все аргументы или их инверсии, то такую форму записи называют совершенной.

Для создания логического уравнения в СДНФ необходимо выполнить следующие действия:

1. выбрать из таблицы истинности наборы аргументов, на которых функция принимает значение 1;

2. записать формулу логического произведения всех аргументов столько раз, сколько функция принимает значение 1; все записанные произведения соединить знаками логической суммы;

3. если аргумент в наборе равен 1, он записывается без инверсии, если аргумент равен 0 – с инверсией.

Пример для СДНФ:

1. в

   Аргументы		Функция
   х1	х2	y
   0	0	0
   0	1	1
   1	0	1
   1	1	0

   ыбрали 2 набора, когда y=1

2. х1·х2Vх1·х2

3. в первом наборе х1=0, следовательно, над х1 ставим знак инверсии; во втором наборе х2=0, следовательно, над х2 ставим знак инверсии.

СДНФ:

Для Примера 1 получим:

F = x₂x₃ + x₁ x₃ + x₁x₂ + x₁x₂x₃

Чтобы составить логическое уравнение в СКНФ, необходимо выполнить следующие действия:

1. выбрать из таблицы истинности наборы аргументов, на которых функция принимает значение 0;

2. записать формулу логической суммы всех аргументов столько раз, сколько функция принимает значение 0; все записанные суммы соединить знаками логического произведения;

3. если аргумент в наборе равен 1, он записывается с инверсией, если аргумент равен 0 – без инверсии.

П

Аргументы		Функция
х1	х2	y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

ример для СКНФ:

1. выбираем 2 набора, когда y = 0

2. (x1Vx2)·(x1Vx2)

3. в первом наборе нет единичных значений аргументов, следовательно, первая сумма остается без изменений, во втором наборе оба аргумента = 1, следовательно, над ними ставим знак инверсии.

СКНФ: y = (x1Vx2)·( )

Для Примера 1 получим:

F = (x₁Vx₂Vx₃) (x₁Vx₂V ) (x₁V Vx₃) ( Vx₂Vx₃)

Если по СКНФ или СДНФ логической функции построить логическую схему, то, очевидно, что такая схема будет выполнять заданный закон функционирования, но будет содержать большое число ЛЭ, что является неэкономичным и снижает надежность устройства. Поэтому построению логической схемы должна предшествовать операция получения самой короткой формы записи логической функции – минимизация.