Б. Биматричная игра (составление таблиц).
Эффект безбилетника. Http://ru.Wikipedia.Org/wiki/%d0%ad%d1%84%d1%84%d0%b5%d0%ba%d1%82_%d0%b1%d0%b5%d0%b7%d0%b1%d0%b8%d0%bb%d0%b5%d1%82%d0%bd%d0%b8%d0%ba%d0%b0
Двум товарищам нужно доехать на трамвае от университета до общежития. У них есть 3 возможных варианта: пройти на трамвай без билетов, купить один билет, или купить два билета. У трамвайного депо имени Апакова есть контролёр, у которого тоже три варианта: либо не заходить в трамвай и не устраивать проверку, либо зайти и проверить билет у одного из друзей, либо проверить их обоих.
Цена билета 20 рублей, а штраф за безбилетный проезд 100 рублей.
Первый вариант: товарищи не покупают билет (А0), они ничего не теряют и их выигрыш равен 0 рублей.
Если при этом контролёр не делает проверку (В0), то они опять-таки ничего не теряют, а выигрыш по-прежнему 0 рублей.
Если контролёр проверяет одного из них (В1), то товарищам придётся заплатить штраф в 100 рублей, и их выигрыш составит -100 рублей, а выигрыш контролёра 100 рублей.
Если контролёр проверяет обоих (В2), то выигрыш товарищей составит -200 рублей, а выигрыш контролера 200 рублей.
Второй вариант: товарищи покупают один билет (А1), тогда их выигрыш составляет -20 рублей.
Если контролёр не проверяет их (В0), то их выигрыш остаётся -20 рублей, а выигрыш контролёра 0 рублей.
Если контролёр проверяет одного из них (В1), то он может проверить либо первого, либо второго. Вероятности этих событий 0,5. Если контролёр проверяет товарища с билетом, то выигрыш товарищей остаётся -20 рублей, а выигрыш контролёра 0 рублей. Если контролёр проверяет безбилетного, то товарищи вынуждены заплатить штраф и их выигрыш становится -120, а выигрыш контролёра 100 рублей. В итоге средний выигрыш товарищей в такой ситуации будет -70, а средний выигрыш контролёра 50 рублей.
Если контролёр проверяет обоих (В2), то выигрыш товарищей равен -120, а выигрыш контролёра 100 рублей.
Третий вариант: товарищи покупают два билета (А2), тогда в любом случае их выигрыш составит -40 рублей, а выигрыш контролёра 0 рублей.
А |
В0 |
В1 |
В2 |
А0 |
0 |
-100 |
-200 |
А1 |
-20 |
-70 |
-120 |
А2 |
-40 |
-40 |
-40 |
В |
В0 |
В1 |
В2 |
А0 |
0 |
100 |
200 |
А1 |
0 |
50 |
100 |
А2 |
0 |
0 |
0 |
В. Матричная игра с седловой точкой
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
В6 |
В7 |
В8 |
|
А1 |
1 |
6 |
1 |
1 |
0 |
5 |
6 |
1 |
0 |
А2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
4 |
5 |
3 |
2 |
А3 |
-3 |
-1 |
-2 |
3 |
-2 |
-1 |
0 |
4 |
-3 |
А4 |
2 |
7 |
4 |
2 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
А5 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
4 |
7 |
3 |
3=α |
А6 |
-1 |
0 |
3 |
0 |
6 |
0 |
1 |
-1 |
-1 |
А7 |
5 |
4 |
2 |
2 |
5 |
3 |
4 |
3 |
2 |
А8 |
0 |
2 |
1 |
-2 |
-1 |
2 |
-1 |
0 |
-2 |
|
5 |
7 |
4 |
3=β |
6 |
5 |
7 |
4 |
|
В каждой строке выбираем наименьшее значение и выписываем его справа от строки. Среди полученного столбца чисел выбираем наибольшее α – это нижняя цена игры. В данном случае она равна трём.
В каждом столбце выбираем наибольшее из чисел и записываем его под столбцом. Из полученного ряда чисел выбираем наименьшее β – это верхняя цена игры. В данном случае она тоже равняя трём.
В данной матрице есть седловая точка α= β=3. Это и есть значение (цена) игры.
Оптимальной стратегией для игрока А будет А5, а для игрока В – В4.
Ответ: ν=3,
