- •1.5. Дифференциальное исчисление Для замечаний
- •1.5. Дифференциальное исчисление
- •1.5.1. Определение производной
- •1.5.2. Геометрический смысл производной
- •1.5.3. Дифференциируемость функции
- •1.5.4. Правила вычисления производных,
- •1.5.5. Вычисления производных некоторых элементарных функций
- •1.5.6. Правило дифференцирования сложной функции
- •1.5.7. Дифференциал функции
- •1.5.8. Геометрический смысл дифференциала функции
- •1.5.9. Дифференциал независимой переменной
- •1.5.10. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.5.11. Производные высших порядков
- •1.5.12. Дифференциалы высших порядков
- •1.5.13. Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •1.5.14. Свойства дифференцируемых функций
- •1.5.14.1. Возрастание (убывание) функций в точке. Локальный экстремум.
- •1.5.14.2. Теорема о нуле производной
- •1.5.14.3. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа)
- •1.5.14.4. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).
- •1.5.14.5. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя).
- •1.5.14.6. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха-Роша)
- •1.5.14.7. Остаточный член в форме Лагранжа, Коши, Пеано
- •1.5.14.8. Формула Маклорена
- •1.5.14.8.1. Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.
- •1.5.14.8.2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •1.5.14.8.3. Приложения формулы Маклорена Приближенное вычисление числа е
- •1.5.14.8.4. Вычисление пределов с помощью формулы Маклорена
1.5.14. Свойства дифференцируемых функций
1.5.14.1. Возрастание (убывание) функций в точке. Локальный экстремум.
1. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную в некоторой окрестности U(c) точки с.
Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в точке С, если существует - окрестность точки c(U(c)) такая, что
.
Определение 2. Функция f(x) называется убывающей в точке С, если существует - окрестность точки c(U(c)) такая, что
.
Определение 3. Точка с называется точкой локального максимума (локального минимума) функции f(x) (f(x) имеет локальный минимум в точке С), если существует такая - окрестность точки c(U(c)) такая, что
Определение 4. Будем говорить, что функция y=f(x) имеет в точке С локальный экстремум, если эта функция имеет в точке С либо локальный максимум, либо локальный минимум (рис.1)
Рис. 1
Функция f(x) имеет в точке с1 локальный максимум, в точке с2 - локальный минимум. Заметим, что f(с1)<f(с2).
Теорема 1. (лемма Ферма) (достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке). Пусть функция f(x) дифференцируема в точке с и , тогда y=f(x) возрастает (убывает) в точке С.
Замечание 1. Положительность (отрицательность) производной не является необходимым условием возрастания (убывания) дифференцируемой в точке С функции y=f(x).
Пример 1. (рис.2). f(x)=x3 возрастает в точке х = 0, но
рис. 2
Теорема 2. (необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции) (теорема Ферма).
Пусть функция f(x) дифференцируема в точке С и имеет в этой точке локальный экстремум, тогда
(рис. 3).
Доказательство. По условию теоремы существует . Так как функция y=f(x) имеет в точке С локальный экстремум, она не может в этой точке ни возрастать, ни убывать. Следовательно, по теореме 1 не может быть ни положительной ни отрицательной, т.е. .
Теорема доказана.
Рис. 3
Замечание 2. Как показано на рис. 3 касательная к графику дифференцируемой функции в точке экстремума горизонтальна.
Пример 2. y=x3, , но функция не имеет экстремума, т.е. необходимое условие (теорема 2) экстремума не является достаточным.
1.5.14.2. Теорема о нуле производной
Теорема (теорема Ролля).
Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента, а значения функции на концах сегмента одинаковы, тогда внутри сегмента найдется такая точка, в которой значение производной обращается в нуль.
.
Доказательство. f(x) C[a,b] (по второй теореме Вейерштрасса) f(x) достигает на [a,b] своих точных верхней и нижней граней (M и m соответственно). Могут представиться два случая:
1) M=m; 2) M>m. Рассмотрим оба этих случая.
1) M=mf(x)=M=m=const x [a,b].
2) M>m. Так как f(a)=f(b), хотя бы одно из двух значений M и m достигается во внутренней точке сегмента [a,b]. Но тогда функция f(x) имеет в точке локальный экстремум. По необходимому условию экстремума (теорема Ферма см. п.5.1) =0. Теорема доказана.
Замечание 3. Кратко можно сказать, что между двумя равными значениями дифференцируемой функции обязательно лежит нуль производной, то есть существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции горизонтальна (рис.1).
Рис. 1
Приведем несколько примеров, когда при нарушении хотя бы одного из условий теоремы утверждение теоремы не имеет места.
а) Функция f(x)=x-E(x) (E(x) - целая часть от x) на сегменте [0,1] не является непрерывной (рис.2). И хотя все остальные условия теоремы выполнены, однако на (0,1) не существует точки такой, чтобы =0.
Рис. 2
б) Нарушено условие дифференцируемости на (а, b)
|
Рис. 3 |
в) Нарушено условие f(a)=f(b).
Для функции f(x)=x на [0, 1] (рис.4) нет точки (0, 1), в которой значение производной обращалось бы в 0.
Рис. 4