- •1.5. Дифференциальное исчисление Для замечаний
- •1.5. Дифференциальное исчисление
- •1.5.1. Определение производной
- •1.5.2. Геометрический смысл производной
- •1.5.3. Дифференциируемость функции
- •1.5.4. Правила вычисления производных,
- •1.5.5. Вычисления производных некоторых элементарных функций
- •1.5.6. Правило дифференцирования сложной функции
- •1.5.7. Дифференциал функции
- •1.5.8. Геометрический смысл дифференциала функции
- •1.5.9. Дифференциал независимой переменной
- •1.5.10. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.5.11. Производные высших порядков
- •1.5.12. Дифференциалы высших порядков
- •1.5.13. Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •1.5.14. Свойства дифференцируемых функций
- •1.5.14.1. Возрастание (убывание) функций в точке. Локальный экстремум.
- •1.5.14.2. Теорема о нуле производной
- •1.5.14.3. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа)
- •1.5.14.4. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).
- •1.5.14.5. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя).
- •1.5.14.6. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха-Роша)
- •1.5.14.7. Остаточный член в форме Лагранжа, Коши, Пеано
- •1.5.14.8. Формула Маклорена
- •1.5.14.8.1. Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.
- •1.5.14.8.2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •1.5.14.8.3. Приложения формулы Маклорена Приближенное вычисление числа е
- •1.5.14.8.4. Вычисление пределов с помощью формулы Маклорена
1.5.3. Дифференциируемость функции
Пусть функция y=f(x) определена на (a,b), x - некоторое фиксированное значение аргумента x(a,b), x - любое приращение аргумента такое, что (x+x) (a,b).
Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде
y=Аx+x, (1)
где А - некоторая константа, не зависящая от x, а - функция от x ((x)), являющаяся бесконечно малой при x0.
Замечание 1. При x=0 функция (x), вообще говоря, не определена, поэтому в этой точке для удобства припишем значение (0), равное нулю. В этом случае функция (x) станет непрерывной в точке x=0, и равенство (1) можно распространить на значение x=0.
Замечание 2. Так как (x) и x - бесконечно малые функции в точке x=0, (x)x=0(x), тогда
y=Ax+0(x). (2)
Теорема 1. Для того, чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой в точке x (символическая запись: , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Необходимость. Пусть функция y= , тогда .
Отсюда .
Достаточность. Пусть функция y=f(x) имеет в данной точке x конечную производную, т.е. существует , тогда - бесконечно малая при x0 (см. теорему 1 п.3.11).
Отсюда , где , и если обозначить через А, то y=Аx+x.
Замечание 3. Доказанная теорема позволяет в дальнейшем отождествлять понятие дифференциируемости функций в данной точке и наличие у этой функции в данной точке конечной производной.
Теорема 2. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
Так как функция дифференцируема в точке x, y=Ax+x. Но тогда В силу разностной формы условия непрерывности функция y=f(x) непрерывна в точке x (см. замечание 1 п.4.1.)
Замечание 4. Обратное утверждение, вообще говоря, места не имеет, т.е. непрерывная в точке x функция может не являться дифференцируемой в этой точке.
Пример. Рассмотрим функцию y=x.
|
Поскольку y=x+x-xx+x-x=x, и функция непрерывна в любой точке x. Покажем, что эта функция не имеет в точке x=0 производной. |
Действительно,
и правая производная функции в точке x=0 отлична от левой.
В остальных точках производная функции y=x существует и равна sgnX
1.5.4. Правила вычисления производных,
связанные с арифметическими действиями
над функциями
Теорема. Пусть функции y1=f1(x) и y2=f2(x) имеют производные в точке x0. Тогда их сумма, разность, произведение и частное (частное при условии y20 в точке x=x0) также имеют производные в точке x=x0, причем
1.5.5. Вычисления производных некоторых элементарных функций
1. y=c (c= const) y=c-c . Итак, .
Замечание 1. Производная произведения функции на постоянную равна произведению этой постоянной на производную функции, т.е. .
Доказательство. .
Замечание 2. Если n - любое фиксированное целое число, то .
Следует из предыдущей теоремы с помощью метода математической индукции.
2. y=xn (степенная функция), где n - положительное целое число.
Если использовать формулу бинома Ньютона, получим
При x0
При x0 все слагаемые правой части, начиная со второго, стремятся к нулю, т.к. содержат x в некоторой положительной степени. Первое слагаемое x не содержит, поэтому предел правой части при x0 равен nxn-1. Следовательно, существует предел левой части при x0, равный nxn-1. По определению производной указанный предел равен производной функции y=xn, т.е. .
Данные рассуждения справедливы для любой точки x(-, +).
Кроме того, эту формулу можно обобщить на тот случай, когда n является произвольным вещественным числом (доказательство этого положения см. в п. 4.6.).
3. y=sinx.
. При x0
. (1)
В силу непрерывности функции cosx в любой точке x(-, +) 1 . Если учесть также, что (см. п.3.16), получим, что предел правой части равенства (1) существует и равен cosx (на основании теоремы 1 п.3.10), а тогда и предел левой части этого равенства существует и равен cosx. По определению производной указанный предел равен производной функции y=sinx, т.е. .
4. Аналогичным образом можно показать, что .
5. Пусть x, и x - произвольное приращение аргумента, такое что x <x.
При x Если x - фиксировано, то при и на основании непрерывности функции в любой точке полупрямой (0,) и, в частности, в точке получим, что Поэтому существует предел правой части равенства при Но по определению, , поэтому В частности, при а=е
имеем
6. y=tgx, (см. теорему 1 п.3.10) .
7. y=ctgx. Аналогично этому
Прежде, чем вычислять производные других элементарных функций, докажем теорему о производной обратной функции.
Теорема.
Пусть функция y=f(x).
1) определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0.
2) в точке x0 существует отличная от 0 производная Тогда и обратная функция имеет производную в точке причем
Раскроем геометрический смысл этого положения.
|
Рассмотрим в окрестности x=x0 график функции y=f(x). Если провести касательную к графику в точке М(x0,y0), то ( - угол наклона касательной к положительному направлению оси Оx). (- угол наклона той же касательной к положительному направлению оси Оy).
|
Поскольку формула выражает очевидный факт:
Используя эту теорему, можно получить производные следующих элементарных функций, являющихся строго монотонными в области их определения.
8. Функция является обратной для логарифмической функции , определенной на полупрямой y>0. Поскольку в окрестности любой точки y выполнены условия теоремы, то
Итак, При а=е, получим .
9. y=arcsinx, Будем рассматривать интервал В этом случае Так как
Итак, .
10. Аналогично этому .
11. y=arctgx и если x ; x=tgy, тогда
12. По аналогии с предыдущим
Сведем теперь в единую таблицу производные элементарных функций.
1. в частности, .
2. В частности
3. В частности .
4.
5.
6. .
7. .
8.
9.
10.
11.
По определению, гиперболическим синусом (shx), косинусом (chx), тангенсом (thx) и котангенсом (cthx) называются функции
производные которых вычисляются по следующим формулам:
13.
14.
15.
16. (x).