![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.5. Дифференциальное исчисление Для замечаний
- •1.5. Дифференциальное исчисление
- •1.5.1. Определение производной
- •1.5.2. Геометрический смысл производной
- •1.5.3. Дифференциируемость функции
- •1.5.4. Правила вычисления производных,
- •1.5.5. Вычисления производных некоторых элементарных функций
- •1.5.6. Правило дифференцирования сложной функции
- •1.5.7. Дифференциал функции
- •1.5.8. Геометрический смысл дифференциала функции
- •1.5.9. Дифференциал независимой переменной
- •1.5.10. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.5.11. Производные высших порядков
- •1.5.12. Дифференциалы высших порядков
- •1.5.13. Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •1.5.14. Свойства дифференцируемых функций
- •1.5.14.1. Возрастание (убывание) функций в точке. Локальный экстремум.
- •1.5.14.2. Теорема о нуле производной
- •1.5.14.3. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа)
- •1.5.14.4. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).
- •1.5.14.5. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя).
- •1.5.14.6. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха-Роша)
- •1.5.14.7. Остаточный член в форме Лагранжа, Коши, Пеано
- •1.5.14.8. Формула Маклорена
- •1.5.14.8.1. Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.
- •1.5.14.8.2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •1.5.14.8.3. Приложения формулы Маклорена Приближенное вычисление числа е
- •1.5.14.8.4. Вычисление пределов с помощью формулы Маклорена
1.5.11. Производные высших порядков
Определение
1. Пусть
функция y=f(x) определена на (a,b),
.
Производная функции
в точке x0
называется второй производной функции
f и обозначается
т.е
или
.
Аналогично
определяется производная
любого
порядка n=1, 2, ...
Если
существует производная
(n-1)-го порядка, то по определению
При этом производная нулевого порядка
- сама функция
,
а производная первого порядка - производная
.
Символическая запись производной n-го
порядка функции y=f(x) на
.
Определение 2. Функция называется n раз дифференцируемой на {x}, если на {x} она имеет производные до порядка n включительно.
Сформулируем (без доказательства) теорему о вычислении n-ой производной произведения и суммы двух функций, имеющую большое прикладное значение.
Теорема.
Пусть
функции y1=f1(x)
и y2=f2(x)
определены в некоторой окрестности
точки x0,
имеют производные n-го порядка в точке
x0,
тогда функции
также имеют производные n-го порядка в
точке x0,
причем
,
Последняя
формула называется формулой Лейбница.1
Пример.
Вычислить
Обозначим
Очевидно,
что
Поэтому,
1.5.12. Дифференциалы высших порядков
Для удобства проведения дальнейших выкладок для обозначения дифференциала наряду с символом d будем употреблять также символ (x и y).
Пусть
тогда
.
Дифференциал функции dy есть функция
двух переменных: точки x и переменной
dx. Пусть, далее,
,
и dx имеет одно и то же фиксированное
значение для
,
тогда
Определение. Значение (dy) дифференциала от первого дифференциала dy в некоторой точке x0, взятое при x=dx, называют вторым дифференциалом функции y=f(x) (в точке x0) и обозначают символом
Замечание 1. Из определения следует, что d2x=0, т.к. приращение x=dx считается постоянным.
Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.
Предположим,
что производная (n-1)-го порядка
дифференцируема
в окрестности точки x0
(т.е. функция y=f(x) имеет в точке х0
производную n-го порядка), тогда
дифференциалом n-го порядка dny
функции
y=f(x) в точке х0
называется дифференциал
от
дифференциала (n-1)-го порядка dn-1y,
взятый при х=dx,
т.е.
.
Методом математической индукции можно получить, что
(1)
или
(2)
Замечание
2. Формулы
(1) и (2) справедливы при n>1 лишь в том
случае, когда x является независимой
переменной, т.е. второй и последующие
дифференциалы не обладают, вообще
говоря, свойством инвариантности формы.
Действительно, пусть
тогда
и
мы имеем дополнительный, отличный от 0
член
1.5.13. Дифференцирование функции, заданной параметрически
Пусть
функции x=(t)
и y=(t)
определены в некоторой окрестности
точки t0.
Пусть одна из функций, например,
тогда
и в некоторой окрестности точки x0
(x0
- ,
x0 +
),
имеет смысл функция
Функция
называется
заданной параметрически формулами
x=(t)
и y=(t)
функцией.
Лемма.
Если
x=(t)
и y=(t)
имеют в точке t0
производные и если
имеет в точке x0=(t0)
производную, причем
(1)
Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции и обратной функции имеем:
.
Для
вычисления второй производной
следует представить ее в виде
и воспользоваться формулой (1) и правилом
дифференцирования частного.