3. Метод січних
Для обчислень методом січних використовуємо таблицю:
-
X
f(x)
A1
B1
A2
B2
A1-B1*(A2-A1)/(B2-B1)
A1=a
B1=f(A1)
A2=b
B2=f(A2)
Теоретичне обгрунтування:
Однією з головних проблем при застосуванні методу Ньютона є необхідність аналітичного опису похідної. Якщо це складно чи неможливо, то можна застосувати її наближену оцінку. Тоді замість методу дотичних застосовується метод січних, за яким
де
–
наближена оцінка похідної, що розглядається
як січна, а не як дотична, і може бути
оцінена за формулою
чи
де
–
деякий невеликий крок.
Алгоритм цього методу подібний методу Ньютона, але з іншою ітераційною формулою.
Геометрична ілюстрація методу наведена на рис. 3.6.
Рисунок 3.1 – Метод січних
Рішення:
1) 3 + 2 + x = 0;
Знаходимо проміжок, на якому знаходяться корені рівняння:
x |
y |
1 |
1 |
0 |
3 |
-1 |
1,333333 |
-2 |
0,111111 |
-3 |
-0,96296 |
Знаходимо корені рівняння методом половинного ділення:
a |
b |
c |
y© |
y(a) |
-3 |
-2 |
-2,5 |
-59,8273 |
-59,8764 |
-2,5 |
-2 |
-2,25 |
-59,7969 |
-59,8273 |
-2,25 |
-2 |
-2,125 |
-59,7801 |
-59,7969 |
-2,125 |
-2 |
-2,0625 |
-59,7714 |
-59,7801 |
-2,0625 |
-2 |
-2,03125 |
-59,7669 |
-59,7714 |
-2,03125 |
-2 |
-2,01563 |
-59,7646 |
-59,7669 |
Знаходимо корені рівняння методом дотичних:
-2 |
0,111111111 |
1,037037 |
-2,1071429 |
-0,008370059 |
1,032924 |
-2,0990396 |
0,000616441 |
1,033219 |
-2,0996362 |
-4,54798E-05 |
1,033197 |
-2,0995922 |
3,35497E-06 |
1,033199 |
-2,0995954 |
-2,47494E-07 |
1,033198 |
-2,0995952 |
1,82574E-08 |
1,033198 |
Знаходимо корені рівняння методом січних:
-2 |
0,111111 |
-3 |
-0,96296 |
-2,10345 |
-0,00427 |
-2,09945 |
0,000159 |
-2,0996 |
-3,3E-08 |
-2,0996 |
-2,6E-13 |
-2,0996 |
0 |
Відповідь: х≈-2.09
2) 2x3-9x2-60x+l=0;
Знаходимо проміжок, на якому знаходяться корені рівняння:
x |
y |
1 |
1 |
0 |
54 |
-1 |
1 |
-2 |
-70 |
Знаходимо корені рівняння методом половинного ділення:
|
a |
b |
c |
y© |
y(a) |
|
-1 |
-2 |
-1,5 |
0,25 |
-1,9375 |
|
-1 |
-1,5 |
-1,25 |
-0,4375 |
-1,80859 |
|
-1,25 |
-1,5 |
-1,375 |
-0,10938 |
-1,98804 |
|
-1,375 |
-1,5 |
-1,4375 |
0,066406 |
-1,99559 |
|
-1,375 |
-1,4375 |
-1,40625 |
-0,02246 |
-1,9995 |
|
-1,40625 |
-1,4375 |
-1,42188 |
0,021729 |
-1,99953 |
|
-1,40625 |
-1,42188 |
-1,41406 |
-0,00043 |
-2 |
|
-1,41406 |
-1,42188 |
-1,41797 |
0,010635 |
-1,99989 |
Знаходимо корені рівняння методом дотичних:
x |
f(x) |
F(x) |
-1 |
50 |
-36 |
1,416667 |
-96,376157 |
-73,45833333 |
-1,33127 |
60,206898 |
-25,40348487 |
2,42243 |
-168,72887 |
-68,39473585 |
-2,5024 |
63,44576 |
22,61545112 |
-2,91607 |
49,839771 |
43,50987142 |
-1,2125 |
56,953545 |
-29,35397396 |
1,981539 |
-137,66981 |
-72,10872052 |
-1,93668 |
68,916304 |
-2,635481676 |
26,88426 |
30745,003 |
3792,6647 |
-8,09935 |
-1166,0604 |
479,3851273 |
2,415513 |
-168,25551 |
-68,47101481 |
-2,4926 |
63,665131 |
22,14524916 |
-2,98745 |
46,598346 |
47,32302308 |
-1,04782 |
51,686841 |
-34,55182016 |
1,526248 |
-104,42921 |
-73,49586616 |
-1,44165 |
62,80133 |
-21,58010155 |
Знаходимо корені рівняння методом січних:
x |
f(x) |
2 |
-139 |
1 |
-66 |
2,952055 |
-203,103 |
-0,42109 |
24,52028 |
2,824777 |
-195,221 |
-1,16964 |
55,66569 |
2,502583 |
-174,174 |
-1,68784 |
67,01455 |
2,015537 |
-140,118 |
-2,07419 |
68,88359 |
1,325611 |
-89,693 |
-2,35181 |
66,31378 |
0,30561 |
-18,1201 |
-2,45387 |
64,48712 |
-1,45566 |
63,10015 |
25,12746 |
24541,27 |
-1,41116 |
62,127 |
Відповідь: х≈1,41
3) 5sin(x)-x+0.5=0
Знаходимо проміжок, на якому знаходяться корені рівняння:
x |
y |
1 |
1 |
2 |
3,707355 |
3 |
3,046487 |
4 |
-1,7944 |
|
|
Знаходимо корені рівняння методом половинного ділення:
a |
b |
c |
y© |
y(a) |
3 |
4 |
3,5 |
10,25 |
7 |
3,5 |
4 |
3,75 |
12,0625 |
10,25 |
3,75 |
4 |
3,875 |
13,01563 |
12,0625 |
3,875 |
4 |
3,9375 |
13,50391 |
13,01563 |
3,9375 |
4 |
3,96875 |
13,75098 |
13,50391 |
3,96875 |
4 |
3,984375 |
13,87524 |
13,75098 |
3,984375 |
4 |
3,992188 |
13,93756 |
13,87524 |
3,992188 |
4 |
3,996094 |
13,96877 |
13,93756 |
3,996094 |
4 |
3,998047 |
13,98438 |
13,96877 |
3,998047 |
4 |
3,999023 |
13,99219 |
13,98438 |
Знаходимо корені рівняння методом дотичних:
x |
f(x) |
F(x) |
-4 |
8,284012 |
-4,26822 |
-5,94086 |
8,119253 |
3,709883 |
-3,75231 |
7,1196 |
-5,09618 |
-5,14936 |
10,17955 |
1,115985 |
3,972225 |
-7,16401 |
-4,37205 |
Знаходимо корені рівняння методом січних:
x |
f(x) |
4 |
-7,28401 |
1 |
3,707355 |
2,011891 |
3,009534 |
6,37593 |
-5,41287 |
3,57127 |
-5,15416 |
Відповідь: х≈-5,4811
4) 0,5x-3=(x+2)2 х*(0.5)(х-1)-2(х+2)
Знаходимо проміжок, на якому знаходяться корені рівняння:
x |
y |
-4 |
9 |
-3 |
4 |
-2 |
1 |
-1 |
-2 |
Знаходимо корені рівняння методом половинного ділення:
a |
b |
c |
y(c) |
y(a) |
-2 |
-1 |
-1.5 |
-0.42157 |
1 |
-2 |
-1.5 |
-1.75 |
0.301086 |
1 |
-1.75 |
-1.5 |
-1.625 |
-0.0562 |
0.301086 |
-1.75 |
-1.625 |
-1.6875 |
0.123324 |
0.301086 |
-1.6875 |
-1.625 |
-1.65625 |
0.033798 |
0.123324 |
-1.65625 |
-1.625 |
-1.64063 |
-0.01114 |
0.033798 |
-1.65625 |
-1.64063 |
-1.64844 |
0.011343 |
0.033798 |
-1.64844 |
-1.64063 |
-1.64453 |
0.000105 |
0.011343 |
-1.64453 |
-1.64063 |
-1.64258 |
-0.00552 |
0.000105 |
-1.64453 |
-1.64258 |
-1.64355 |
-0.00271 |
0.000105 |
-1.64453 |
-1.64355 |
-1.64404 |
-0.0013 |
0.000105 |
-1.64453 |
-1.64404 |
-1.64429 |
-0.0006 |
0.000105 |
-1.64453 |
-1.64429 |
-1.64441 |
-0.00025 |
0.000105 |
-1.64453 |
-1.64441 |
-1.64447 |
-7.1E-05 |
0.000105 |
-1.64453 |
-1.64447 |
-1.6445 |
1.67E-05 |
0.000105 |
-1.6445 |
-1.64447 |
-1.64449 |
-2.7E-05 |
1.67E-05 |
-1.6445 |
-1.64449 |
-1.64449 |
-5.2E-06 |
1.67E-05 |
-1.6445 |
-1.64449 |
-1.6445 |
5.74E-06 |
1.67E-05 |
-1.6445 |
-1.64449 |
-1.6445 |
2.48E-07 |
5.74E-06 |
-1.6445 |
-1.64449 |
-1.64449 |
-2.5E-06 |
2.48E-07 |
-1.6445 |
-1.64449 |
-1.64449 |
-1.1E-06 |
2.48E-07 |
-1.6445 |
-1.64449 |
-1.64449 |
-4.4E-07 |
2.48E-07 |
-1.6445 |
-1.64449 |
-1.64449 |
-9.5E-08 |
2.48E-07 |
Знаходимо корені рівняння методом дотичних:
x |
f(x) |
f'(x) |
-2 |
1 |
-16 |
-1.9375 |
0.826507 |
-14.9679 |
-1.88228 |
0.672717 |
-14.1138 |
-1.83462 |
0.539416 |
-13.4181 |
-1.79442 |
0.426487 |
-12.8599 |
-1.76125 |
0.332923 |
-12.4185 |
-1.73444 |
0.256992 |
-12.0739 |
-1.71316 |
0.196502 |
-11.8078 |
-1.69652 |
0.149074 |
-11.6044 |
-1.68367 |
0.112379 |
-11.4501 |
-1.67386 |
0.084293 |
-11.3337 |
-1.66642 |
0.06298 |
-11.2464 |
-1.66082 |
0.046915 |
-11.1812 |
-1.65662 |
0.034869 |
-11.1327 |
-1.65349 |
0.025871 |
-11.0966 |
-1.65116 |
0.01917 |
-11.0698 |
-1.64943 |
0.014191 |
-11.05 |
-1.64814 |
0.010497 |
-11.0353 |
-1.64719 |
0.007761 |
-11.0244 |
-1.64649 |
0.005736 |
-11.0164 |
-1.64597 |
0.004238 |
-11.0104 |
-1.64558 |
0.00313 |
-11.006 |
-1.6453 |
0.002312 |
-11.0028 |
-1.64509 |
0.001707 |
-11.0004 |
-1.64493 |
0.001261 |
-10.9986 |
-1.64482 |
0.000931 |
-10.9973 |
-1.64473 |
0.000687 |
-10.9964 |
-1.64467 |
0.000507 |
-10.9957 |
-1.64463 |
0.000375 |
-10.9951 |
-1.64459 |
0.000277 |
-10.9947 |
-1.64457 |
0.000204 |
-10.9945 |
-1.64455 |
0.000151 |
-10.9943 |
-1.64453 |
0.000111 |
-10.9941 |
Знаходимо корені рівняння методом січних:
x |
f(x) |
1 |
-11.5 |
2 |
-18.75 |
-0.58621 |
-3.49752 |
-1.17924 |
-1.40906 |
-1.57936 |
-0.18857 |
-1.64118 |
-0.00955 |
-1.64448 |
-5.6E-05 |
-1.64449 |
-1.6E-08 |
-1.64449 |
-2.8E-14 |
-1.64449 |
0 |
-1.64449 |
0 |
Висновок:
В цій роботі я ознайомився з наближеними методами розвязування рівнянь. Метод половинного ділення, метод дотичних, метод січних. Отримав навички роботи в программі Excel. На мою думку метод січних це найлегший з знайомих мені методів.
ЗАМЕЧАНИЯ
Название нашего института на титульном листе не соответствует истинному
Нет номера варианта;
Нет списка уравнений;
Рисунок и поясняющая надпись к нему на разных страницах
Ваша работа и отчет Ремесло один в один от рисунков до объяснений…
Кто из вас автор или вы оба пытаетесь обмануть проверяющего?
Этого допускать нельзя.
Оба должны переделать свои отчеты