МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ, НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Криворізький національний університет

КАФЕДРА ІНФОРМАТИКИ ТА ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ

Звіт

З лабораторної роботи з курсу чисельних методів на тему: «Розв’язування рівнянь із одним невідомим»

Виконав:

студент 3-ого курсу

групи І-09

Скриніков Ігор

Кривий Ріг

2012

Завдання:

Уточнення коренів рівняння методом половинного ділення, методом січних та методом дотичних.

1. Метод половинного ділення

Для обчислень методом половинного ділення використовуємо таблицю:

A	B	c	y(c)	y(a)
A1	B1	C1	D1	E1
ЕСЛИ($E$1*D1>0;C1;A1)	ЕСЛИ($E$1*D1>0;B1;C1)	↓	↓	↓

A1=a

B1=b

C1=(A1+B1)/2

D1=f(C1)

E1=f(A1)

Теоретичне обгрунтування:

Нехай дано рівняння f(x)=0. Необхідно знайти його корінь з точністю e на відрізку [a,b], на якому функція безперервна і у кінцях має значення різних знаків, тобто f(a)×f(b)<0. Таким чином, згідно теореми 1, на цьому відрізку існує хоча б один розв’язок рівняння.

З находиться середина відрізку [a,b] точка с (рис. 3.2). Корінь може опинитись на відрізку [a,с] або на [с,b], чи співпасти з с. В останньому випадку метод припиняє роботу, інакше за допомогою перевірки виконання умов f(a)×f(c)<0 і f(c)×f(b)<0 з’ясовується, на якій частині відрізку залишився корінь. Далі процедура повторюється для тієї половини відрізку, на якій є корінь, доки відрізок не зменшиться настільки, що його довжина буде менше від заданої похибки.

Рисунок 1.1 – Метод половинного ділення (функція опукла вгору)

Рисунок 1.2 – Метод половинного ділення (функція опукла донизу)

2. Метод дотичних

Для обчислень методом дотичних використовуємо таблицю:

X	f(x)	f'(x)
A2	B2	C2
A2-B2/C2	↓	↓

A2=x

B2=f(x)

C2=f’(x)

Теоретичне обгрунтування:

Метод Ньютона ( також метод дотичних, метод Ньютона — Рафсона) — метод наближеного знаходження кореня дійсного рівняння:

f(x) = 0

де f диференційовна функція. Послідовні наближення методу Ньютона обчислюються за формулами

Узагальнення і варіації методу використовуються для обчислення коренів системи нелінійних рівнянь, знаходження екстремуму функції, обчислення коренів комплексного рівняння.

Обґрунтування методу

Розкладаючи в околі початкового наближення x₀ функцію f в ряд Тейлора і відкидаючи члени порядку вище 1, одержуємо наближену рівність, справедливу в деякому околі x₀:

Рисунок 2.1 – Метод січних

Ілюстрація методу Ньютона (синім зображена функція , нуль якої необхідно знайти, червоним — дотична в точці наближення

Оскільки шукається корінь f(x) то в лівій стороні формули можна поставити 0, і перше наближення:

одержується внаслідок елементарних перетворень.

Можна також дати геометричну інтерпретацію. Основна ідея методу полягає в наступному: задається початкове наближення поблизу кореня, після чого будується дотична до досліджуваної функції в точці наближення, для якої знаходиться перетин з віссю абсцис. Точка перетину і береться як наступне наближення. І так далі, поки не буде досягнута необхідна точність. Формула наближення може бути виведена таким чином:

де α — кут нахилу дотичної в точці

Отже шуканий вираз для має вигляд: