Раздел 5 «Линейные операторы в пространстве со скалярным произведением»

1. Линейный оператор А в базисе e̅₁(1,0), e̅₂(1,1) имеет матрицу

1 2

А= 1 -1.

Найти матрицу сопряженного оператора в базисе e̅₁, e̅₂, если векторы e̅₁, e̅₂ заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе.

2. Линейный оператор А в базисе e̅₁(1,2,1), e̅₂(1,1,2), e̅₃(1,1,0) имеет матрицу

1 1 3

А = 0 5 -1

2 7 -3.

Найти матрицу сопряженного оператора в базисе e̅₁, e̅₂, e̅₃, если векторы e̅₁, e̅₂, e̅₃ заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе.

3. Вычислить Аⁿ, если

1 1

А= 0 2

4. Доказать, что операция * перехода от оператора А к сопряженному оператору А* обладает следующими свойствами

   1. (А*)*=А

   2. (А+В)*=А*+В*

   3. (АВ)*=В*А*

   4. (kA)*=kA*

5. В пространстве многочленов степени не выше второй задано скалярное произведение: (f,g)=a₀b₀+a₁b₁+a₂b₂, где f(t)=a₀+a₁t+a₂t². Найти матрицы оператора дифференцирования D и сопряженного оператора D* в базисе 0.5t²-0.5t, t²-1, 0.5t²+0.5t.

6. Выяснить, можно ли с помощью перехода к новому базису диагонализировать оператор А, заданный своей матрицей в некотором фиксированном базисе. Найти этот базис и соответствующую ему диагональную форму матрицы

   1. 1 1 1

А= 1 1 1

1. 1 1

2. 2 -1 2

А= 5 -3 3

-1 0 -2

7. Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей

11 2 -8

А= 2 2 10

-8 10 5

Ответы к разделу 5

3 6

А* = -1 -3

-83 -59 -45

А = 107 83 67

14 10 3

3. 1 2ⁿ-1

Aⁿ = 0 2ⁿ

5. -1.5 -2 -0.5

D= 0.5 0 -0.5

0.5 2 1.5

6. 6.1. 3 0 0

А= 0 0 0

1. 0 0

Базис e₁(1,1,1), e₂(1,0,-1), e₃(0,1,-1).

6.2. матрица оператора не диагонализируется

7. 9 0 0

0 -9 0

0 0 18

Базис e₁(2/3,2/3,1/3), e₂(1/3,-2/3,2/3), e₃(-2/3,1/3,2/3).