Раздел1 «Линейные пространства».

1. Проверить, является ли данное множество линейным пространством:

   1. Множество всех векторов, параллельных фиксированной плоскости.

   2. Множество всех векторов, параллельных фиксированной прямой.

   3. Множество геометрических векторов а̅ (x,y,z), координаты которых удовлетворяют условию х+y+z=0.

   4. Множество всех матриц размера 2×3.

   5. Множество невырожденных матриц третьего порядка.

   6. Множество вырожденных матриц третьего порядка.

   7. Множество многочленов степени не выше третьей.

   8. Множество многочленов Р(t)=a₀+a₁t+a₂t² с положительными коэффициентами.

   9. Множество расходящихся последовательностей.

   10. Множество радиус-векторов, концы которых находятся на фиксированной прямой.

2. Доказать, что каждая из двух систем векторов образует базис и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах:

e̅₁ (1,2,1), e̅₂ (2,3,3), e̅₃ (3,7,1);

e̅₁̍ (3,1,4), e̅₂̍ (5,2,1), e̅₃̍ (1,1,-6)

3. Векторы e̅₁(1,1,1), e̅₂(1,1,2), e̅₃(1,2,3) и х̅(6,9,14) заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы e̅₁, e̅₂, e̅₃ образуют базис, и найти координаты вектора х̅ в этом базисе.

4. Доказать, что каждая из систем многочленов 1, х, х² и 1-х, 2х-х², -3х образует базис в пространстве многочленов степени не выше второй, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.

5. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если

- поменять местами два вектора первого базиса?

- поменять местами два вектора второго базиса?

6. В пространстве геометрических векторов V₃ дана система векторов

e̅₁= 2i̅ + j̅ - 3k̅, e̅₂= 3i̅ + 2j̅ - 5k̅, e̅₃= i̅ - j̅ + k̅. Доказать, что данная система образует базис в V₃, составить матрицу перехода от базиса i̅ , j̅ , k̅ к базису e̅₁, e̅₂, e̅₃ и найти координаты вектора х̅=6 i̅ +2 j̅ - 7k̅ в базисе e̅₁, e̅₂, e̅_3.

7. Дана матрица перехода от базиса e̅₁, e̅₂, e̅₃ к базису e̅₁̍, e̅₂̍, e̅₃̍. Найти координаты векторов e̅₁, e̅₂, e̅₃ в базисе e̅₁̍, e̅₂̍, e̅₃̍.

1 0 1

Т= 0 0 2

-1 3 0

8. Найти координаты многочлена t²-t+2 в базисе 1,t-1, (1-t)².

9. Доказать, что если системы векторов

Е: e̅₁, e̅₂ ,…e̅_n,

Е̍: e̅₁̍, e̅₂̍ ,…e̅_n̍,

Е̍ ̍: e̅₁̍ ̍, e̅₂̍ ̍,…e̅_n̍ ̍

образуют базисы в пространстве V_n, то справедливо матричное равенство: Т _{Е→ Е̍ ̍} =Т _{Е→ Е̍} Т _{Е̍→ Е̍ ̍}.

10. Установить, является ли изоморфизмом данное отображение V₃ на R₃:

    1. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (2x –y, z, x+y+z)

    2. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (x+y -1, 2z, 3y)

    3. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (x+y, -y+2z, x+2y-2z)

Ответы к разделу 1

1. 1.1 является. 1.2. является. 1.3. является. 1.4 является. 1.5. не является. 1.6.не является. 1.7. является. 1.8.не является. 1.9.не является 1.10 является, если прямая проходит через начало координат

2. х₁=-27х₁̍ - 71 х_2̍̍- 41х₃̍

х₂=9х₁̍ + 20 х_2̍̍ + 9х₃̍

х₃=4х₁̍ + 12 х_2̍̍ + 8х₃̍

3. х̅(1,2,3)

4. Матрица перехода

1 0 0

-1 2 -3

0 -1 0

5. Поменяются местами две строки; поменяются местами два столбца.

6. Ответ

7. Ответ

8. (2,1,1)

9. Указание: воспользоваться определением матрицы перехода.

10. 10.1. является

10.2. не является, так как нарушено условие линейности отображения.

10.3. не является, так как нарушено условие взаимной однозначности отображения.