Раздел 2 «Линейные подпространства и линейные многообразия»

1. Проверить, являются ли заданные множества линейными подпространствами; указать какой-нибудь базис и размерность линейных подпространств:

   1. Множество всех геометрических векторов из V₃, компланарных фиксированной плоскости.

   2. Множество геометрических векторов из V₃, удовлетворяющих условию (͞х ,͞а)=0, где͞ а-фиксированный вектор.

   3. Множество всех геометрических векторов из V₃, удовлетворяющих условию | ̅х̅ | =1.

   4. Множество всех векторов из R_n вида: ̅х=(0, х₂, 0, х₄, х₅,…х_n)

   5. Множество всех симметрических матриц порядка n.

   6. Множество решений линейной однородной системы уравнений

x₁+2x₂ – x₃+x₄ - 3x₅=0

x₂ –4 x₃+x₅=0

7. Множество всех векторов из R_n, координаты которых удовлетворяют условию: х₁=х_n.

1. Найти размерность линейной оболочки L(x̅₁, x̅₂) арифметических векторов x̅₁(1, 0, 2, -1), x̅₂(0, -1, 2, 0). Показать, что вектор x̅(1, -1, 4, -1) принадлежит оболочке.

2. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы векторов x̅₁(1, 0, 0, -1), x̅₂(2, 1, 1, 0), x̅₃(1, 1, 1, 1), x̅₄(1, 2, 3, 4), x̅₅(0, 1, 2, 3).

3. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы векторов x̅₁(1, 1, 1, 1, 0), x̅₂(1, 1, -1, -1, -1), x̅₃(2, 2, 0, 0, -1), x̅₄(1, 1, 5, 5, 2), x̅₅(1, -1, -1, 0, 0).

4. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек L(x̅₁, x̅₂) и L(y̅₁, y̅₂):

x̅₁(1, 2, 1, 0), x̅₂(-1, 1, 1, 1);

y̅₁(2, -1, 0, 1), y̅₂(1, -1, 3, 7)

6. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек L(x̅₁, x̅₂, x̅₃) и L(y̅₁, y̅₂):

x̅₁ (1, 2, -1, -2), x̅₂ (3, 1, 1, 1), x̅₃ (-1, 0, 1, -1);

y̅₁ (2, 5, -6, -5), y̅₂ (-1, 2, -7, -3)

7. Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки

L(а̄) и многообразия L(а̄) +b̅, если а̄= -2i̅ + j̅ - k̅, b̅= 2i̅ - j̅.

8. Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки

L(а̄₁, a̅₂) и многообразия L(а̄₁, a̅₂) + b̅, если а̄₁= -i̅ + j̅ + k̅, а̄₂=2 j̅ - k̅ b̅= i̅ + k̅.

9. Задана система уравнений

x₁+ x₂ – 3x₃ - x₄ + x₅=1

3x₁- x₂ + x₃ + 4x₄ + 3x₅=4

x₁- 5x₂ - 9x₃ - 8x₄ + x₅=0.

Доказать, что множество решений этой системы есть линейное многообразие в пространстве R₅.Сдвигом какого подпространства получается это линейное многообразие? Найти ранг и какой-нибудь базис этого подпространства. Найти какой-нибудь вектор сдвига.

Ответы к разделу 2

1. 1.2. является, dimL=1, 1.3.не является, 1.4. является, dimL=n-2, 1.5. является, dimL=n² - C_n², 1.6. является, dimL=3, 1.7.является, dimL=n-1

2. dimL=2.

3. dimL=2

4. dimL=3.

5. Размерность пересечения равна 1, базисный вектор имеет координаты z̅ (5, -2, -3, -4); размерность суммы равна 3, базис составлен, например, из векторов z̅, x̅₁, y̅₁.

6. Сумма совпадает с первым пространством, пересечение – со вторым.

7. Линейная оболочка – прямая, проходящая через точку (0, 0, 0) параллельно вектору с координатами (-2, 1, -1), линейное многообразие - прямая, проходящая через точку (2,-1, 0) параллельно вектору с координатами (-2, 1, -1)

8. Линейная оболочка – плоскость -3x – y - 2z =0, линейное многообразие – плоскость -3x – y - 2z + 5=0.

9. Множество решений неоднородной системы есть линейное многообразие, полученное из подпространства размерности 3 решений соответствующей однородной системы сдвигом на произвольное частное решение неоднородной системы.

10. Доказать, что пространство R_n есть прямая сумма двух линейных подпространств: L₁, заданного уравнением х₁+х₂+…+х_n=0 и L₂, заданного системой уравнений х₁=х₂=…=х_n.

11. Пусть линейное пространство L является прямой суммой линейных подпространств L₁ и L₂. Доказать, что размерность L равна сумме размерностей подпространств L₁ и L₂, причем любые базисы L₁ и L₂ дают вместе базис L.

12. Доказать, что сумма L линейных подпространств L₁ и L₂ тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор x̅, принадлежащий L, представляется в виде x̅= x̅₁+ x̅₂, где x̅₁ принадлежит L₁, x̅₂ принадлежит L₂.