§ 7. Факторный дисперсионный анализ

Однофакторный дисперсионный анализ позволяет статистически обосновать существенность влияния факторного признака А на результативный F.

Однофакторный дисперсионный анализ используется для проверки гипотезы о сходстве средних значений двух или более выборок, принадлежащих одной и той же генеральной совокупности. Этот метод распространяется также на тесты для двух средних (к которым относится, например, t-критерий или ttest). То есть, если для разных уровней фактора А средние отличаются незначительно, то следует принять гипотезу о несущественном влиянии факторного признака А на результативный F.

Демонстрационный пример 7

Проверить статистическую существенность влияния фактора А (для разных уровней фактора) на содержание цистина (фактор F) в плазме крови (мг/л). Результаты измерений при 5 уровнях фактора А приведены в таблице 1:

Таблица 1

А1	А2	А3	А4	А5
3,2	2,6	2,9	3,7	3
3,1	3,1	2,6	3,4	3,4
3,1	2,7	3	3,2	3,2
2,8	2,9	3,1	3,3	3,5
3,3	2,7	3	3,5	2,9
3	2,8	2,8	3,3	3,1

Введем исходные данные в Excel в блок А1:Е7. В пункте меню Сервис выбираем строку Анализ данных и далее указываем курсором мыши на строку Однофакторный дисперсионный анализ. В появившемся диалоговом окне (рис. 7.1) задаем Входной интервал А1:Е7.

Рис. 7.1

Группирование: по столбцам – именно такое расположение имеют уровни фактора А; Отметим Mетки в первой строке (там расположены уровни фактора); в Выходном интервале отметим левую верхнею ячейку выходного интервала $A$12. После нажатия кнопки ОК, получим таблицу однофакторного дисперсионного анализа:

Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями представляет собой более сложный вариант однофакторного анализа, включающего более чем одну выборку для каждой группы данных. Двухфакторный дисперсионный анализ позволяет статистически обосновать существенность влияния факторных признаков А и В и взаимодействия факторов {А и В) на результативный фактор F.

Демонстрационный пример 8

У 60 человек фиксировалась содержание некоторого анализа в зависимости от возраста и дозы лекарственного вещества. Данные обследования отражены в таблице 2.

Таблица 2

	А	В	С	D
1		Возраст
2	Доза (мкг)	От 25 до 35 лет	От 35 до 45 лет	от 45 до 55 лет
3	от 10 до 20	19	19	18
4		20	20	19
5		20	20	20
6		20	23	21
7		22	25	23
8	от 20 до 30	30	20	19
9		31	29	25
10		32	30	25
11	от 30 до 40	32	31	26
12		34	31	26
13		35	36	24
14		35	40	24
15		39	41	24
16		40	42	25
17		41	45	25
18	свыше 40	40	28	20
19		40	31	24
20		41	35	25
21		41	36	31
22		42	40	32

Оценить существенность влияния возраста (А) и дозы (В) на некоторый анализ (F).

Решение. Данные в таблице 2 приведены так, как они должны выглядеть на листе Excel. Заполним диалоговое окно согласно рис. 7.2.

Рис. 7.2

Следует отметить, что в исходных данных должно быть одинаковое число строк (повторений наблюдений), в противном случае рекомендуется ввести оценки пропущенных наблюдений, выбрав их таким образом, чтобы минимизировать остаточную дисперсию (иначе нужно ввести среднюю других наблюдений в ячейках), причём нельзя включать эти оценки при подсчёте соответствующих степеней свободы. В случае пропуска данных в дисперсионном анализе без повторений необходимы более сложные методы.

После нажатия на кнопку ОК мы получим итоговую таблицу 3.

Таблица 3

Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями

ИТОГИ	От 25 до 35 лет	От 35 до 45 лет	от 45 до 55 лет	Итого
от 10 до 20 мкг
Счет	5	5	5	15
Сумма	101	107	101	309
Среднее	20,2	21,4	20,2	20,6
Дисперсия	1,2	6,3	3,7	3,54285
От 20 до 30
Счет	5	5	5	15
Сумма	159	141	121	421
Среднее	31,8	28,2	24,2	28,0666
Дисперсия	2,2	21,7	8,7	19,6380
Счет	5	5	5	15
Сумма	190	204	122	516
Среднее	38	40,8	24,4	34,4
Дисперсия	8	10,7	0,3	60,4
свыше 40
Счет	5	5	5	15
Сумма	204	170	132	506
Среднее	40,8	34	26,4	33,7333
Дисперсия	0,7	21,5	25,3	50,6380
Итого
Счет	20	20	20
Сумма	654	622	476
Среднее	32,7	31,1	23,8
Дисперсия	68,5368	66,6210	13,3263

Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F крити­- ческое
Выборка	1842,533	3	614,177	66,8189	3,7E-17	2,798
Столбцы	900,4	2	450,2	48,9791	2,56E-12	3,190
Взаимодей- ствие	537,4666	6	89,5777	9,74554	5,2E-07	2,294
Внутри	441,2	48	9,19166
Итого	3721,6	59

Дисперсионный анализ с повторениями позволяет оценить существенность влияния фактора А (доза), В (возраста), и их взаимодействия (факторов А и В) на некоторый анализ. Так как:

F_{A расч} = 66,8189>F_{A кp} = 2,7980;

F_{В расч} = 48,979l>F_{B кp} = 3,1907;

F_{AВ расч} = 9,7456>F_{AВ к p}= 2,2945;

то следует признать статистически значимым влияние дозы (фактор А), возраста (фактор В) и их взаимодействия (факторы А и В) на некоторый анализ.

Итоговая таблица позволяет более детально рассмотреть свойства отдельных групп (например, возраст от 35до 45 лет и доза от 20 до 30 мкг).

В Excel имеется хорошая возможность наглядного представления изучаемых процессов или явлений с помощью мастера диаграмм. Для этого: предварительно выделим данные Таблица 2 нажмём кнопку Мастер диаграмм панели Стандартная; выберем закладку Стандартные, Тип диаграммы – График, нажмем кнопку Далее.

На закладке Диапазон данных укажем диапазон B2:D22, поставим отметку Ряды – в столбцах, нажмем кнопку Далее.

На закладке Заголовки укажем название диаграммы «Влияние дозы и возраста на некоторый анализ», ось X : доза, ось Y : возраст, нажмем кнопку Далее.

В следующем окне отметим Поместить на имеющемся (листе), нажмем кнопку Готово. В результате получим график на рис. 7.3.

Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений позволяет оценить существенность воздействия факторов А и В на результирующий фактор F без учёта воздействия взаимодействия факторов А и В.

Рис. 7.3

Демонстрационный пример 9

Рассмотрим решение примера 8, высчитав с помощью Excel в каждой ячейке среднее значение наблюдений (таблица 4).

Таблица 4

Доза	Возраст
	от 25 до 35 лет	от 35 до 45 лет	от 45 до 55 лет
от 10 до 20 мкг	20,2	21,4	20,2
от 20 до 30 мкг	31,8	28,2	24,2
От 30 до 40 мкг	38	40,8	24,4
свыше 40 мкг	40,8	34	26,4

В результате заполнения диалогового окна (аналогичного окну примера 8 см. рис. 7.2) получим итоговую таблицу двухфакторного дисперсионного анализ без повторений (Таблица 5).

Таблица 5

Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений
ИТОГИ	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
от 10 до 20 мкг	3	61,8	20,6	0,48
от 20 до 30 мкг	3	84,2	28,066	14,4533
от 30 до 40 мкг	3	103,2	34,4	76,96
свыше 40 мкг	3	101,2	33,7333	51,8933
от 25 до 35 лет	4	130,8	32,7	83,5866
от 35 до 45 лет	4	124,4	31,1	68,3333
от 45 до 55 лет	4	95,2	23,8	6,74666

Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Зна- чение	F крити- ческое
Строки	368,5066667	3	122,8355	6,8563	0,0229	4,757
Столбцы	180,08	2	90,04	5,0258	0,0522	5,143
Погрешность	107,4933333	6	17,91555
Итого	656,08	11

Данные дисперсионного анализа свидетельству­ют о том, что фактор А (доза) существенно влияет на некоторый анализ (так как F_{A расч} = 6,8563>F_{A кр} = 4,7570), а фактор В (возраст) статистически существенного влияния не оказывает (так как F_Bpacч = 5,0258<F_Bкcp = = 5,1432).

Различие в выводах примеров 8 и 9 можно объяснить тем, что в примере 9 мы не учитывали конкретные наблюдения в ячейках, а рассматривали лишь их среднее значение. Поэтому результат дисперсионного анализа с повторениями является более значимым, что соответствует и самому смыслу задачи.

Так как очевидно – на некоторый анализ влияют и доза, и возраст, и их взаимодействие (доза и возраст). Отсюда следует сделать вывод, что при организации наблюдений необходимо, для каждого уровня факторов, рассматривать возможно большее количество элементов в ячейках.