Плоские графы.

Два графа называются изоморфными, если у них:

1. Совпадает число вершин

2. Совпадает число рёбер.

3. Две вершины первого графа соединены ребром тогда и только тогда, когда две соответствующие вершины второго графа соединены ребром.

Из определения следует, что степени двух соответствующих вершин изоморфных графов д.б. одинаковы.

Г раф называется плоским, если он изоморфен такому графу, у которого любые два ребра не имеют общих точек, кроме м.б. их общей вершины. Этот второй граф называется плоским представлением первого графа.

Примеры:

Г ранью плоского представления графа называется часть плоскости, ограниченная простым циклом графа и не содержащая внутри себя других простых циклов.

Пример:

(1,2,6,1), (6,2,5,7,6), (6,7,5,6) и т.д. являются гранями плоского представления графа.

(6,2,5,6) – не является.

(1,2,3,4,5,6,1) с внешней стороны является бесконечной гранью плоского графа.

Н е всякий граф обладает бесконечной гранью, например, на рисунке внешняя часть не ограничена простым циклом и не является бесконечной гранью.

Как особый случай вводится бесконечная грань в плоском представлении дерева и леса. В этом случае за грань принимают всю плоскость рисунка.

М ост в графе, соединяющий циклы называется перегородкой.

Простой цикл, ограничивающий грань называется границей этой грани.

Грани называются соседними, если их границы имеют общее ребро.

Теорема 8 (Эйлера):

Для любого плоского представления связного плоского графа без перегородок справедлива формула:

В – р + г = 2,

г де в, р, г – число вершин, рёбер, граней в плоском представлении графа.

Доказательство:

Преобразуем граф в дерево с теми же вершинами, разрывая некоторые рёбра.

Удалим AK, число рёбер уменьшилось на единицу, число граней уменьшится на единицу, но р – г = const.

После того, как мы получим дерево будет по-прежнему справедливо равенство: p – r = р_д – г_д.

В дереве г_д=1, а значит р–г=р_д–1 (*)

По теореме о деревьях в_д–р_д=1, но количество вершин не изменилось, т.е. в=в_д, а значит в–р_д=1 или р_д=в–1 (**)

подставим (**) в (*): р-г=в-1-1

Отсюда получаем доказываемую формулу: в–р+г=2

Графом типа 1 называется граф вида:

У этих графо имеются вершины и на рёбрах

2. Графом типа 2 называется граф вида:

Теорема 9. Понтрягина – Куратовского:

Граф является плоским тогда и только тогда, когда он не имеет подграфом графа типа 1 и графа типа 2. (без доказательства).

П лоский граф называется максимально плоским, если к нему нельзя добавить ни одного ребра, чтобы новый граф был плоским.

Свойства максимально плоского графа:

1. все грани максимально плоского графа – треугольники.

2. У максимально плоского графа имеются три внешних ребра. (AB, BC, CA)

Эйлеровы графы.

Путь (цикл) в графе называется Эйлеровым, если он проходит по всем рёбрам графа.

Если граф обладает эйлеровым циклом, этот цикл проходит через каждое ребро только один раз, то сам граф является эйлеровым.

Если граф обладает Эйлеровым путем, то он называется полуэйлеровым графом.

Примеры:

Теорема 10. (Эйлер, 1736 г.):

Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда все его вершины четны. (Необходимость легко доказывается, т.к. проходя через вершину один раз, мы в неё входим и из неё выходим, т.е. увеличиваем её четность на 2)

Теорема 11:

Связный граф является полуэйлеровым тогда и только тогда, и только тогда, когда не более трех вершин в нем имеют нечетную степень.

З адачи:

1. Существует ли в данном графе путь, проходящий по всем рёбрам, причём по любому только один раз.

Ответ: Существует, т.к. нет вершин с нечётной степенью.

2. Задача о кенигсбергских мостах. Во времена Леонарда Эйлера 7 мостов города Кенигсберга были расположены по реке Прегель так, как показано на рисунке:

Мог ли житель этого города, выйдя из дома, вернуться обратно, пройдя по каждому мосту ровно один раз?

12