- •Интегральное исчисление
- •1. Первообразная функция
- •2. Неопределенный интеграл
- •3. Свойства неопределенного интеграла
- •4. Таблица основных интегралов
- •5. Методы интегрирования
- •5.1 Непосредственное интегрирование
- •5.2 Метод подведения под знак дифференциала
- •Алгоритм применения метода подведения под знак дифференциала:
- •5.3 Метод замены переменных (способ подстановки)
- •5.4 Метод интегрирования по частям
- •6. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
- •7. Интегрирование рациональных функций
- •7.1 Интегрирование рациональных дробей
- •2 Способ (способ задания частных значений):
- •7.2 Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1 Способ. Тригонометрическая подстановка
- •3 Способ. Метод неопределенных коэффициентов.
- •9. «Неберущиеся» интегралы
2 Способ (способ задания частных значений):
Так как равенство (*) — тождество, то оно сохраняется при любом значении .
Будем давать такие значения, чтобы в правой части все члены, кроме одного, обращались в нуль. Очевидно, такими «выгодными» значениями являются корни знаменателя, т. е. значения , , и .
При в правой части (*) все слагаемые, кроме первого, обратятся в нуль, левая часть равенства при будет равна , и мы получим:
или , откуда .
При левая часть равна , а в правой части (*) все слагаемые, кроме второго, будут равны нулю:
или , откуда
При в правой части (*) все слагаемые, кроме третьего, равны нулю:
или , откуда .
При в правой части (*) все слагаемые, кроме четвертого, обратятся в нуль, и мы будем иметь:
или , откуда .
Итак, заданная дробь может быть представлена суммой простейших дробей вида:
.
Заметим, что каким бы способом ни вычислялись неизвестные коэффициенты, мы всегда получим для них одни и те же значения, так как разложение рациональной дроби на простейшие может быть осуществлено единственным образом.
Укажем, что второй способ, способ задания частных значений , для определения неизвестных коэффициентов особенно удобен в том случае, когда знаменатель дроби содержит только действительные множители первой степени, среди которых нет равных.
В других случаях способ задания частных значений также дает сокращение вычислений, так как позволяет избежать решения системы уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных.
Пример.
Дробь правильная. Разобьем на множители знаменатель дроби. Т.к. ( , то
.
Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем:
.
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получаем систему четырех уравнений первой степени с четырьмя неизвестными:
Решив полученную систему, найдем значения неизвестных:
или методом Гаусса:
Итак, , , и .
Таким образом, вычисление исходного интеграла сводится к вычислению суммы интегралов вида:
.
Пример.
Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить из нее целую часть и правильную рациональную дробь:
Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:
Таким образом,
3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1).
Поэтому дробь разбивается на элементарные дроби вида:
Найдем неопределенные коэффициенты методом задания частных значений. В качестве произвольных значений примем точки 3, –2, 1/3 (напомним, что при этих значениях знаменатель дроби равен нулю). Получаем:
Окончательно получаем:
=
=
Пример.
Приравняв числители левой и правой части, найдем неопределенные коэффициенты:
Сгруппируем слагаемые:
Приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях х, получим систему:
решение которой дает значения: , , , и
Тогда значение заданного интеграла:
.