5.2.3. Третья форма
5.2.2. Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы величин моментов этих сил относительно двух произвольно расположенных точек на плоскости действия сил равнялись нулю и сумма проекций всех сил на прямую, лежащую в этой плоскости и не перпендикулярную прямой, проходящую через эти две точки, также равнялась нулю:
(5.7)
Доказательство необходимости условий (5.7):
Пусть плоская система сил находится в равновесии: ( )'0. Из необходимости условий (5.4) следует необходимость условий (5.7).
Доказательство достаточности условий (5.7):
Пусть выполняются условия (5.7). Предположим (метод от противного), что плоская система сил ( ) не находится в равновесии. Приведем эту систему сил к центру В, тогда
.
Если = 0, то система сил находится в равновесии. Предположим, что 0, т. е. что система сил не находится в равновесии. Применив теорему Вариньона для точки D, получим:
Из этого соотношения
следует, что линия действия равнодействующей
,
приложенной в точке B,
проходит также через точку D.
Из третьего уравнения соотношений (5.7)
следует, что
.
Таким образом, мы получили, что проекция
равнодействующей
,
линия действия которой проходит через
точку D, на прямую, не
перпендикулярную прямой, проходящей
через точки B и D,
равняется нулю, чего быть не может.
Следовательно, наше предположение
неверно и плоская система сил (
),
находится в равновесии.
5.3. Алгоритм решения задач на равновесие систем сил – схемы алгоритмов С05 РПЛ, С05 РПР
с комментариями и примерами
Комментарии
К.2. Выбирается система координат таким образом, чтобы в уравнения проекций и в уравнения моментов относительно координатных осей входило меньше неизвестных.
К.3-7. Выделяются находящиеся в равновесии объекты, исходя из условий и вопросов задачи. Циклическая структура вводится для случаев: равновесия составных конструкций – связанных друг с другом нескольких НМС и ферм. В случаях, если количество внешних реакций связи* для всей составной конструкции больше количества уравнений равновесия или необходимо определить внутренние реакции связи** в соединениях отдельных частей составной конструкции, для отыскания дополнительных уравнений равновесия (уровень 7) рассматривается равновесие не только всей составной конструкции, но и ее частей. Общее число уравнений равновесия должно соответствовать числу неизвестных реакций связи, включая те (внутренние реакции связи), которые появятся при разделении составной конструкции на отдельные НМС (возможно также рассмотрение равновесия только отдельных частей конструкции).
При расчете ферм (глава 6) используются метод вырезания узлов (для плоской системы сил – 2 уравнения, для пространственной системы сил – 3 уравнения равновесия для каждого узла) или метод сквозных сечений (для плоской системы сил – 3 уравнения, для пространственной системы сил – 6 уравнений равновесия для части фермы, полученной после проведения сечения).
К.5. Изображаются на рисунке все заданные силы и реакции связей (пассивные силы), действующие на объект, находящийся в равновесии. Принцип освобождаемости приведен в главе 1. Основные типы реакций связей приведены в таблице 1. Распределенная нагрузка заменяется сосредоточенной силой, а пара сил моментом пары (глава 3).
В
задачах можно учесть трение скольжения
и трение качения:
,
(глава
7).
Здесь N – нормальная сила реакции, а fc и fk – соответственно коэффициенты трения скольжения и трения качения.
К.6. Используются следующие обозначения: РПЛ – равновесие плоской системы сил, РПР – равновесие пространственной системы сил.
К7. Для случая равновесия плоской системы сил могут использоваться две другие формы условий равновесия: три уравнения моментов относительно трех точек, не лежащих на одной прямой, или два уравнения моментов относительно двух точек и одно уравнение проекций на прямую, не перпендикулярную прямой, проходящей через эти две точки.
Точки, относительно которых берутся моменты сил, выбираются таким образом, чтобы в уравнения моментов входило меньше неизвестных.
Используются частные случаи условий равновесия для сходящейся системы сил (плоская система сходящихся сил – 2 уравнения, пространственная система сходящихся сил – 3 уравнения равновесия) и системы параллельных сил (плоская система параллельных сил – 2 уравнения, пространственная система параллельных сил – 3 уравнения равновесия).
К.8. Выбирается наиболее удобный метод решения системы уравнений (например, методы Гаусса, Крамера).
К.9. Если при решении уравнений равновесия какая-либо из искомых величин будет иметь знак "–", это означает, что действительное направление реакций связи, реактивного момента или их составляющих противоположно выбранному.
В зависимости от вопросов, поставленных в задаче, из уравнений равновесия могут быть найдены также другие неизвестные величины (геометрические размеры, условия равновесия, условия опрокидывания и т. п.).
Таблица 1