Динамические модели механических и электрических колебаний.
Рассмотрим одну задаче прикладной механики, исследовав и решив ее с помощью линейных дифференциальных уравнений.
положение
равновесия
0
y
y y
Пусть груз массы m покоится на упругой рессоре. Отклонение груза от положения равновесия обозначим через y. В положении равновесия сила веса уравновешивается упругостью пружины. При отклонении от положения равновесия на тело воздействует восстанавливающая сила пружины, стремящиеся вернуть груз в положение равновесия. Будем считать эту силу пропорциональной отклонению, т.е. равной
- ky.
Сила сопротивления среды (сила вязкого трения) пропорциональна скорости и равна
-λv
На основании второго закона Ньютона имеем
Если рессора испытывает внешнее воздействие f(t), то уравнение движения рессоры будет иметь вид
- неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка.
К
аналогичному уравнению придем,
рассматривая электрическую цепь.
L
●
E C
●
R
L – индуктивность,
R – сопротивление,
C – емкость.
E − Э.Д.С,
Q – заряд конденсатора,
i – сила тока в цепи.
Из электротехники известно, что i и Q удовлетворяют следующему уравнению
Дифференцируя обе части по t, и учитывая, что
получим
Уравнение Эйлера.
Примером линейного однородного уравнения второго порядка с непостоянными коэффициентами является уравнение Эйлера.
x2 y′′ + a1 x y′ + a2 y = 0
a1, a 2 – постоянные числа. Уравнение Эйлера с помощью замены x = et (x > 0) приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами.
П р и м е р ы .
Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид
Функции x = x(t), y = y(t), которые при подстановке обращают уравнения (1) в тождества. называются решением системы. Система (1) сводится к одному дифференциальному уравнению второго порядка.
(4) – общее решение системы (1)
П р и м е р .
