Общее правило для нахождения частного решения.

Если правая часть имеет вид

,

то частное решение следует искать в виде

z = e ^{α x} x^p R_m(x),

где α берется из правой части, R_m(x) – многочлен степени m с неопределенными коэффициентами, а p есть кратность, с которой α входит в число корней характеристического уравнения:

p = 0, если нет корня, равного α,

p = 1, если один корень равен α,

p = 2, если оба корня равны α.

П р и м е р ы .

1. y′′ + 2y′ = 5, y = Y + z ,

Y → y′′ + 2y′ = 0, k² + 2k = 0, k₁ = 0, k₂ = -2, Y= C₁ + C₂ e ^{-2 x}

Найти частное решение, удовлетворяющее условиям: R₀(x) = a,

y(0) = 0, y′ (0) =1. R₁(x) = ax + b,

R₂(x) = ax² + bx + c.

1.2 y′′ - 3 y′ + 2 y = 3 e ^{2 x}, y = Y + z,

Y→ y′′- 3 y′ + 2y = 0, k² − 3k + 2 = 0, k₁ =1, k₂ = 2, Y = C₁ e^x + C₂ e^{2 x},

Q(x) = e ^{α x} P_m (x), z = e ^{α x} x ^p R _m (x), α = 2, m = 0, p = 1,

3. y′′− 6y′ + 9y = (32x + 8) e ^–x. y = Y + z, Y→ y′′− 5y′ + 6y = 0,

k ²− 6k + 9 = 0, k_{1, 2} = 3, Y = C₁ e^3x + C₂ x e^3x.

Q(x) = e ^{α x} P_m(x), z = e ^αx x ^p R_m(x) , α = -1, m = 1, p = 0.

2. Пусть правая часть имеет вид

Здесь α и β берутся из правой части, А и В – неопределенные коэффициенты, а р есть кратность, с которой входит в число корней характеристического уравнения.

р = 0, если среди корней характеристического уравнения нет корня, равного α + β i, p =1, если один корень равен α + β i.

П р и м е р ы.

2.1. y′′′ + 2y′′= 5 sin x. y = Y + z, Y → y′′′ + 2y′′ = 0, k³ + 2k² = 0, k_{1 ,2} = 0, k₃ = -2.

y₁(x) = 1, y₂ (x) = x, y₃(x) = e^-2x. Y = C₁ + C₂ x + C₃ e ^-2x.

+

2.2. y′′ + 4y = 8 sin x, y(0) = 1, y′(0) = 2.

k² + 4 = 0, k_{1, 2} = ± 2i , Y = C₁ cos 2x + C₂ sin 2x.

Q(x) = e^{α x}(M cos βx + N sin βx), z = e^{α x} x^p (Acos βx + Bsin βx).

α = 0, β = 1, α + β i = i, p = 0,

2.3.

k² + 4 k + 13 = 0, k_1,2 = -2 ±3i, Y = C₁e^-2xcos 3x + C₂ e^-2x sin 3x,

Метод вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим уравнение

y″+ a₁y′ + a₂y = Q(x) (1)

Пусть Q(x) – непрерывная функция произвольного вида. Укажем способ нахождения общего решения этого дифференциального уравнения.

Рассмотрим общее решение соответствующего однородного уравнения

y = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) (2)

Будем искать решение уравнения (1) в виде (2), но С₁ и С₂ при этом будем считать не произвольными постоянными, а некоторыми пока неизвестными функциями от x.

y = C₁(x)∙ y₁(x) + C₂(x)∙ y₂(x) (3)

Для нахождения функций С₁(х) и С₂(х) подставим (3) в (1). Найдем

y′ = C₁′y₁ + C₂′ y₂ + C₁y₁′ + C₂ y₂ ′

Нам надо найти две функции С₁ (х) и С₂(х), а уравнение, которому должна удовлетворять функция (3) – одно. Поэтому одно соотношение, связывающее С₁ и С₂, можновзять произвольно.

Положим

C₁′y₁ + C₂′ y₂ = 0 (*)

Тогда

y = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) a₂

+ y′= C₁y₁′ + C₂ y₂ ′ a₁

y″ = C₁′y₁′ + C₂′ y₂′ + C₁y₁″ + C₂ y₂ ″ 1

C ₁(y₁″+ a₁ y₁′ + a₂ y₁) +C₂(y₂ ″+ a₁ y₂′ + a₂ y₂) + C₁′y₁′+ C₂′ y₂′ = Q(x)

≡ 0 ≡ 0

Следовательно, функции С₁(x) и C₂(x) должны удовлетворять системе уравнений

C₁′y₁ + C₂′ y₂ = 0 (4) C₁′y₁′+ C₂′ y₂′ = Q(x)

Это линейная алгебраическая система относительно С₁′ и С₂′. Определитель этой системы

Как было показано при доказательстве теоремы о структуре общего решения однородного уравнения в силу линейной независимости функций y₁ (x) и y₂ (x), этот определитель не обращается в нуль ни в одной точке. Следовательно, система (4) имеет единственное решение

Подставляя С₁(х) и С₂ (х) в соотношение (3), получим общее решение уравнения (1).

П р и м е р.

П р и м е р ы.

1. xyy′ =1 – x²,

2. y² + x² y′ = x y y′.

3. x²dy + (3 – 2x y) dx = 0