Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальное уравнение n – го порядка представляется в виде

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y , y′, …, y^(n-1)) (1)

В частности дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

y′′ = f(x, y, y′) (2)

Общее решение уравнения (1) зависит от n произвольных постоянных.

y = φ(x, C₁, C₂, …, C_n).

Для уравнения (2) имеем:

y = φ(x, C₁, C₂).

Начальные условия для уравнения (2) имеют вид:

y = y₀, y′ = y′₀ при x = x₀.

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

1. y′′ = f(x),

.

2. y′′= f( x, y′) – правая часть не зависит от y. y′ = p, y′′=

П р и м е р .

3. y′′ = f( y, y′) − правая часть не зависит от x.

П р и м е р.

Линейные уравнения второго порядка.

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

y′′+ a₁ y′ + a₂ y = Q(x),

где Q(x) – непрерывная функция x, a₁ и a₂ - непрерывные функции от х или постоянные величины. Если Q(x)≡0, то уравнение называется однородным.

Линейные однородные уравнения второго порядка.

Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение вида

y′′ + a₁ y′ + a₂ y = 0 (1)

где a₁ и a₂ – непрерывные функции x или постоянные числа.

Свойства уравнения (1).

1. Сумма решений уравнения (1) является решением этого уравнения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y₁(x) и y₂(x) – решения уравнения (1). Подставим в уравнение (1) сумму решений y₁(x) + y₂(x).

y₁ ′′(x) + y₂ ′′(x) + a₁(y₁(x) + y₂(x))′ + a₂ (y₁(x) + y₂(x)) = 0,

2. Если y₁(x) – решение уравнения (1), а С – произвольная постоянная, то Сy₁(x) есть так же решение уравнения (1).

Доказательство аналогичное.

3. Если y₁(x) и y₂(x) – решения уравнения (1), то линейная комбинация y = C₁y₁(x) + C₂ y₂(x) – тоже будет решением уравнения (1).

Рассмотрим систему функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x). Эта система называется линейно зависимой, если хотя бы одна из функций является линейной комбинацией остальных.

y₁(x) = С₂ y₂(x) + С₃y₃(x) + … + C_n y_n(x).

Если ни одна из функций не является линейной комбинацией остальных, то система называется линейно независимой.

Пусть n = 2. Тогда

y₁(x) = C₂ y₂(x) и

т.е. отношение двух линейно зависимых функций есть постоянная величина.

П р и м е р ы .

1. y ₁(x) = sin x, y₂(x) = cos x, , функции линейно независимы.

2. y₁(x) = e^2x, y₂(x) = 2e^2x − линейно зависимы.

Пусть y₁(x) и y₂(x) – частные решения уравнения (1).

Определитель

называется определителем Вронского или вронскианом.

Теорема Штурма – Лиувилля.

Если y₁(x) и y₂(x) – частные решения уравнения (1), то определитель Вронского, составленный для этих решений, либо тождественно равен нулю, либо не обращается в нуль ни в одной точке (без доказательства).

Доказательство.

Теорема о структуре общего решения уравнения (1).

Общее решение уравнения (1) представляется в виде

y = C₁ y₁ (x) + C₂ y₂ (x) (2)

где C₁ и С₂ – произвольные постоянные, а y₁ (x) и y₂ (x) – линейно независимые частные решения уравнения (1).

Доказательство.

На основании предыдущих теорем функция (2) является решением уравнения (1). Зададим начальные условия.

y = y₀, y′ = y′₀, при x = x₀. (3)

Покажем, что С₁ и С₂ можно подобрать так, чтобы выполнялись условия (3)

(4)

Система (4) – система линейных алгебраический уравнений относительно С₁ и С₂. Определитель этой системы

Покажем, что Δ ≠ 0.

, т.е. W(x) ≡ 0, но на основании теоремы Штурма-Лиувилля W(x) ≠ 0 ни при каком значении x.

Следовательно, Δ = W(x₀) ≠ 0, и система (4) имеет единственное решение С₁ и С₂. Т.е. С₁ и С₂ можно подобрать так, чтобы выполнялись условия (3). Следовательно, функция (2) – общее решение уравнения (1), что и требовалось доказать.