Однородные уравнения.
Уравнение (1) называется однородным, если функция f(x,y) удовлетворяет условию f(λx, λy) = f(x, y), (λ ≠ 0) .
Например,
Пусть λ = 1/x, f(x,y) = f(1/x∙x, 1/x∙ y) = f(1, y/x), тогда
Введем новую функцию y/x
= u, y = x
u,
,
Если в этом равенстве после интегрирования заменить u = y/x, то получим общий интеграл дифференциального уравнения (1).
П р и м е р y dx –(x -y) dy = 0. Переменные не разделяются.
− общий интеграл уравнения.
Линейные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции y и ее производной y′.
y′ + P(x) y = Q(x) (*)
Решение этого уравнения ищем в виде произведения двух функций y = u v. Одну из этих функций ( например, u) можно выбрать произвольно, а вторую выбираем так, чтобы все произведение удовлетворяло данному уравнению.
y′ = u′ v + u v′,
u′ v + u v′ + P(x)uv = Q(x), (u′ + P(x) u)v + u v′ = Q(x).
Функцию u выбираем так, чтобы скобка обратилась в нуль.
u′ + P(x)
u = 0,
Полагаем С = 0, т.к. u выбираем произвольно.
Найдем v так, чтобы y = uv удовлетворяла уравнению (1).
П р и м е р. (1 + x2) y′ - 2xy = (1 + x2)2.
Уравнение Бернулли
y′
+ P(x)y
= Q(x)
yα,
α
y = uv
П р и м е р. y′ + xy = x y3 . y = u v.
u′ v + u v′ + x u v = x u3
v3,
Уравнение в полных дифференциалах.
Определение. Уравнение
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если Р(x,y) и Q(x,y) – непрерывные, дифференцируемые функции, для которых выполняется условие
(2)
Интегрирование уравнений в полных дифференциалах. Докажем, что если левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал некоторой функции u(x, y), то выполняется условие (2), и обратно – при выполнении условий (2) левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал некоторой функции u(x, y), т.е. уравнение (1) имеет вид
du(x, y) = 0.
Общий интеграл тогда u(x, y) = C.
Необходимость. Пусть левая часть (1) есть полный дифференциал некоторой функции u(x, y), т.е.
Т
огда
(3)
Отсюда
Следовательно,
,
т.е. равенство (2) является необходимым условием того, чтобы левая часть уравнения (1) была полным дифференциалом некоторой функции u(x, y). Покажем, что это условие является и достаточным, т.е. покажем, что существует функция u(x, y), полный дифференциал которой равен левой части уравнения (1).
Из первого соотношения (3) находим
(
4)
где x0 – абсцисса любой точки из области существования решения. При интегрировании по x мы считали y постоянным, поэтому произвольная постоянная может зависеть от y. Подберем функцию φ(x) так, чтобы выполнялось второе соотношение (3). Для этого дифференцируем обе части равенства (4) по y и результат приравниваем к Q(x, y).
При этом использовалась формула Лейбница дифференцирования по параметру y. Исходя из соотношении (2), имеем
Следовательно,
Общий интеграл имеет вид
=
С
П р и м е р .
Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Тогда
Дифференцируя по y, получим
Общий интеграл исходного уравнения есть
=С