1. У косинуса прибавляем 2n , у остальных n;

2. У синуса ( - 1)n ; у косинуса , у тангенса, котангенса arc.

3. Для а отрицательных: у синуса k +1; у косинуса плюс, минус (   arc...), у тангенса минус arc... , у котангенса   arc...

Алгоритм.

Пункт 1. Привести угол в стандартный вид;

Пункт 2. Выразить sin, cos, tg, ctg;

Пункт 3. Записать соответствующую формулу решения для всего угла, проговаривая: «Уравнение вида ... , весь угол равен...»;

Пункт 4. Найти неизвестное.

Примеры. Решить уравнения:

1. sin2х = 1/2 , (уравнение синуса, весь угол 2х равен ( - 1)ⁿ…

2х = ( - 1)ⁿ arcsin1/2 + n , где n Z .

2х = ( - 1)ⁿ /6 + n ,

х = ( - 1)ⁿ /12 + n/2. Ответ: ( - 1)ⁿ /12 + n/2 , где n Z .

2. 3tg(/3  х) = ,

Выполняем пункты 1, 2: 3tg(х  /3) = , tg(х  /3) =  ,

Выполняем пункт 3: х  /3 = arctg( ) + n , где n Z .

х  /3 =  arctg + n, х  /3 = /6 + n ,

х = /3  /6 + n , х = /6 + n

Ответ: /6 + n , где n Z .

3. 2cosх/2  1 = 0,

cosх/2 = 1/2,

х/2 =  arccos1/2 +2n , где n Z, х/2 =  /3 + 2n ,

х =  2/3 + 4n . ( на 2 надо умножить, крест на крест)

Ответ:  2/3 + 4n, где n Z .

3. Виды уравнений.

3.1 Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Основные элементы:

 функция одна или можно привести к одной функции;

 степени разнятся в два раза.

Решается путем замены переменной. При замене переменной, указать область ее значений.

Пример.

а) 2sin²х  5sinх + 3 = 0.

Пусть sinх = t, t  1,т. к. sinх  1 2t²  5t + 3 = 0,

D = 25  24 = 1

t_1,2 =  посторонний корень.

sinх = 1, х = /2 + 2n , где n  Z .

б) 4(cos²х + cos 2х) + 3sin(270 + х) = 2.

Необходимо привести выражение к одной функции, применив формулу двойного угла для косинуса и формулы приведения.

4(2cos²х  sin² х) 3cosх = 2,

8cos²х 4 sin² х 3cosх = 2,

Т. к. sin²х = 1  cos²х , получим: 8cos²х 4 + 4 cos²х 3cosх = 2,

12cos²х  3cosх  6 = 0, 4cos²х  cosх  2 = 0,

Пусть cosх = t, t  1,т. к. cosх  1 4t²  t  2 = 0,

D = 1 + 32 = 33,

t_1,2 =

cosх = х =  arccos( + 2n , где n  Z .

cosх = х =  arccos( + 2n , где n  Z .

Ответ: ( - arccos( + 2n ;  arccos( + 2n , где n  Z .

3.2 Однородные уравнения.

Основные элементы:

 углы одинаковые;

 функций  две;

 степень одинаковая;

 свободный член равен нулю.

Решаются путем почленного деления на одну из функций, отличную от нуля, в большей степени, далее - замена.

Примеры.

а) 3cos²х  2sinхcosх  sin²х = 0.

Анализ: углы одинаковые; функций две (sinх и cosх); степень вторая, т. к. степень произведения считается как сумма степеней множителей ( 1 + 1 = 2);

свободный член равен нулю  уравнение однородное.

Разделим почлено на cos²х, доказав, что cosх  0.

Пусть cosх = 0, тогда sin ²х = 1, следовательно, уравнение не имеет решения.

3cos²х  2sinхcosх  sin²х = 0. : cos²х  0.

 tg²х  2tgх + 3 = 0, tg²х + 2tgх  3 = 0,

Пусть tgх = t, тогда t² + 2t  3 = 0,

t ₁ =  3; t₂ =1 по теореме обратной теореме Виета.

tgх = 3, х = arctg(3) + n , где n Z . х =  arctg3 + n .

tgх = 1, х = arctg1 + n , где n Z х = /4 + n .

Ответ:  arctg3 + n, /4 + n, где n Z .

б) 10sin² 2х  6sin4х  11cos²2х = 1

Так как в однородном уравнении свободный член равен нулю, нужно представить 1 в виде sin² 2х + cos²2х.

Используя формулу двойного угла для синуса, получим:

10sin² 2х  12sin2хcos2х  11cos²2х = sin² 2х + cos²2х,

9sin² 2х  12sin2хcos2х  12cos²2х = 0,

3sin² 2х  4sin2хcos2х  4cos²2х = 0 : cos²х  0,

Пусть cosх = 0, тогда sinх = 1 или sinх =  1, следовательно уравнение не имеет решения.

3tg² 2х  4tg2х  4 = 0,

Пусть tg2х = t, тогда 3 t²  4t  4 = 0,

D = 4 + 12 = 16,

t_1,2 = t₁=  2/3, t₂= 2.

tg2х =  2/3, tg2х = 2

2х = arctg(2/3) +n , где n Z. 2х = arctg(2/3) +n , где n Z.

Ответ: где n Z.

3.3 Уравнение вида: аsinх  bcosх = с.

Первый способ.

Уравнение вида аsinх  bcosх = с можно привести к однородному, применив формулы двойного угла и представить с через основное тригонометрическое тождество.

2аsinх/2 cosх/2  b(cos²x/2  sin²x/2) = c(cos²x/2  sin²x/2).

Второй способ.

Уравнение вида аsinх  bcosх = с можно решить методом введения вспомогательного аргумента, для чего обе части уравнения разделить на

и привести полученное уравнение к виду

sinх cos   sin  cosх = sin(х  ) =

Где  = arcsin или  = arccos .

Третий способ.

Уравнение вида аsinх  bcosх = с можно решить способом универсальной замены, т. е. используя формулы выражения sinх, cosх через tgх/2:

При этом необходимо установить, является ли х =  + 2n корнем уравнения,

т. к. tg(х/2) неопределен при этих значениях.

Пример. Решить уравнение 5cosх + 2sinх = 3.

Первый способ.

5cos² х/2  5sin² х/2 + 4sin х/2 cos х/2 = 3cos² х/2 + 3sin² х/2,

4sin² х/2  2sin х/2 cos х/2  cos² х/2 = 0,

Поделив на cos² х/2 , т. к. cos² х/2  0, получим:

4tg² х/2  2tgх/2  1 = 0, откуда tgх/2 = , т. е. х = 2 arctg + 2n .

Второй способ.

Поделим обе части уравнения на Деление производим почленно.

cosх + sinх = т. к. , то положим, что

sin  = , а cos  = ,

sin  cosх + sinх cos  = , sin( + х) = , где

 = arcsin или  = arccos ,

,

 + х = ( - 1)ⁿ arcsin + n , где n Z

х = ( - 1)ⁿ arcsin   + n ,

х = ( - 1)ⁿ arcsin  arcsin + n.

3.4 Уравнения вида sinх  cosх = 1 , уравнения, содержащие коэффициенты

Уравнения вида sinх  cosх = 1 целесообразно решать путем умножения обеих частей на .

sinх  cosх = , используя принцип решения по второму способу, получаем: sin(х  /4) = , т.к. = cos /4 или = sin /4. Далее  стандартное решение.

Тоже получаем в случае коэффициентов

Пример. Решить уравнение sin х/3  cosх/3 = .

Разделим обе части на 2для получения коэффициентов

, sin(х/3 /6) =

Эти коэффициенты можно получить, используя и метод введения вспомогательного аргумента.