Решение тригонометрических уравнений Оглавление

Решение тригонометрических уравнений 1

Оглавление 1

1. Решение простейших уравнений. 1

2. Общий вид решения тригонометрических уравнений. 2

3. Виды уравнений. 3

3.1 Уравнения, сводящиеся к квадратным. 3

3.2 Однородные уравнения. 3

3.3 Уравнение вида: аsinх  bcosх = с. 4

3.4 Уравнения вида sinх  cosх = 1 , уравнения, содержащие коэффициенты 5

3.5 Уравнения, сводящиеся к произведению, равному нулю. Метод разложения на множители . 5

4. Общий алгоритм поиска решения тригонометрических уравнений. 7

Пункт 2. Определить есть ли тригонометрическая формула во всем выражении, если есть, то применить; 7

5. Отбор корней. 9

1. Решение простейших уравнений.

Уравнения типа sinх (cosх) = 0, sinх (cosх) =  1, tgх (ctgх) = 0, решаются с помощью тригонометрического круга.

Алгоритм

Пункт 1. Привести угол в стандартный вид.

Пункт 2. Определить, при каком значении диаметрального угла весь угол равен данному значению (0;  1);

Пункт 3. Определить через оборот или пол – оборота это значение повторится;

Пункт 4. Записать весь угол равен значению, определенному в пункте 2 плюс 2n, если значение повторяется через целый оборот, или n, если повторяется через пол – оборота;

Пункт 5. Найти х.

Под стандартным углом понимается угол с положительным неизвестным.

Примеры. Решить уравнения:

1

/2

 0

3/2

) sin2х = 0

2х = n, где n Z;

х = /2n

2х = n т. к. синус равен 0 в нуле и через пол – оборота при , т. е. получаем

0 + n = n.

2) sin(/3  х) = 1

Чтобы привести угол в стандартный вид, надо вынести минус за знак синуса.

 sin(х /3) = 1;

sin(х /3) =  1;

Весь угол х /3. Синус равен  1 при угле равном 3/2 или  /2 и повторяется через целый оборот. Принято использовать  /2.

х  /3 = /2 + 2n , где n  Z .

х = /2 +/3 + 2n;

х = /6 + 2n .

Ответ: /6 + 2n, где n Z .

3) cos (/4 2х)  1 = 0. Т. к. у = cos х  функция четная, то

cos (/4 2х) = cos (2х  /4) .

cos (2х  /4) = 1, 2х  /4 = 2n, n Z ,

2х = /4 + 2n, х = /8 + n .

Ответ: /8 + n, где n Z .

Ключевые слова.

Если уравнение простейшее, то решение смотреть по окружности.

2. Общий вид решения тригонометрических уравнений.

sinх = а sinх = а

Для а > 0 Для а < 0

х = ( - 1)ⁿ arcsina + n , где n Z . х = ( - 1)^{к +1} arcsina + к , где к Z .

cosх = а cosх = а

Для а > 0 Для а < 0

x =  arccosa +2n, где n Z . х = (  arccosa ) + 2n , где n Z .

tgх = а tgх = а

Для а > 0 Для а < 0

х = arctgа + n, где n Z . х =  arctgа + n, где n Z .

сtgх = а сtgх = а

Для а > 0 Для а < 0

х = arcсtgа + n, где n Z . х =   arсctgа + n, где n Z .

Запоминание. Ключевые слова.